位相空間とは何ですか？

位相空間は、物理学者がシステムの視覚化と研究に使用する抽象化です。 この仮想空間の各ポイントは、システムまたはその一部の単一の可能な状態を表します。 これらの状態は通常、システムの進化に関連する動的変数のセットによって決定されます。 物理学者は、振り​​子、中心の星を周回する惑星、またはばねで接続された質量などの機械システムを分析するのに、位相空間が特に役立つと考えています。 これらのコンテキストでは、オブジェクトの状態は、その位置と速度、または同等に、その位置と運動量によって決定されます。 位相空間は、量子力学で見られるような、非古典的な、さらには非決定的なシステムの研究にも使用できます。

ばね上で上下に動く質量は、位相空間を示すのに適した機械システムの具体例を提供します。 質量の動きは、ばねの長さ、ばねの剛性、質量の重量、質量の速度の4つの要因によって決まります。 重力の微小な変化が無視されると仮定すると、これらの最初と最後の変化のみが時間とともに変化します。 したがって、任意の時点でのシステムの状態は、スプリングの長さと質量の速度によってのみ決定されます。

誰かが質量を引き下げると、スプリングは10インチ（25.4 cm）の長さまで伸びる場合があります。 質量を放すと、質量は一時的に停止するため、その速度は0 in / sです。 この時点でのシステムの状態は、（10インチ、0インチ/秒）または（25.4 cm、0 cm /秒）と説明できます。

質量は最初は上向きに加速し、バネが圧縮されると減速します。 バネの長さが6インチ（15.2 cm）になると、質量の上昇が停止する場合があります。 その瞬間、質量は再び静止しているため、システムの状態は（6 in、0 in / s）または（15.2 cm、0 cm / s）として記述できます。

端点では、質量の速度はゼロであるため、バネの長さが8インチ（20.3 cm）の中間点で最速で移動することは驚くことではありません。 その時点での質量の速度は4インチ/秒（10.2 cm /秒）であると仮定するかもしれません。 途中で中点を通過する場合、システムの状態は（8 in、4 in / s）または（20.3 cm、10.2 cm / s）として説明できます。 下降中、質量は下方向に移動するため、その時点でのシステムの状態は（8 in、-4 in / s）または（20.3 cm、-10.2 cm / s）です。

システムが経験するこれらおよび他の状態をグラフ化すると、システムの進化を描く楕円が生成されます。 このようなグラフは、位相プロットと呼ばれます。 特定のシステムが通過する特定の軌道は、その軌道です。

質量が最初にさらに引き下げられていた場合、位相空間でトレースされた図はより大きな楕円になります。 質量が平衡点（ばねの力が重力を正確に打ち消す点）で解放されていた場合、質量は所定の位置に留まります。 これは、位相空間の単一のドットになります。 したがって、このシステムの軌道は同心楕円であることがわかります。

ばね上の質量の例は、単一のオブジェクトによって定義される機械システムの重要な側面を示しています。2つの軌道が交差することは不可能です。 オブジェクトの状態を表す変数は、その未来を決定します。そのため、軌道上のすべてのポイントへのパスは1つだけであり、1つのパスからしか出ることができません。 したがって、軌道は互いに交差できません。 このプロパティは、位相空間を使用したシステムの分析に非常に役立ちます。