位相空間とは何ですか？

位相空間は、物理学者がシステムを視覚化および研究するために使用する抽象化です。この仮想空間の各ポイントは、システムの単一の可能な状態またはその部分の1つを表します。これらの状態は、通常、システムの進化に関連する一連の動的変数によって決定されます。物理学者は、ペンダラ、中央の星を周回する惑星、またはスプリングで接続された大衆などの機械システムの分析に特に役立つ位相空間を見つけます。これらのコンテキストでは、オブジェクトの状態は、その位置と速度、または同等にその位置と勢いによって決定されます。また、位相空間を使用して、量子力学で遭遇するものなど、非古典的、さらには非決定的なシステムを研究することもできます。質量の動きは、スプリングの長さ、ばねの剛性、質量の重量の4つの要因によって決定されます。および質量の速度。これらの変化の最初と最後は、重力の瞬間の変化が無視されていると仮定します。したがって、システムの状態はいつでも、スプリングの長さと質量の速度によってのみ決定されます。

誰かが質量を引き下げた場合、スプリングは10インチ（25.4 cm）の長さに伸びる可能性があります。質量が手放されると、それは一時的に安静になるので、その速度は0インチです。現時点でのシステムの状態は、（10インチ、0インチ/s）または（25.4 cm、0 cm/s）として説明できます。

最初は質量が上方に加速し、スプリングが圧縮されると遅くなります。スプリングが6インチ（15.2 cm）の長さの場合、質量は上昇を止める可能性があります。その瞬間、質量は再び安静になっているため、システムの状態は（6インチ、0インチ）または（15.2 cm、0 cm/s）と記述できます。

エンドポイントでは、質量は速度がゼロなので、スプリングの長さが8インチ（20.3 cm）であるそれらの間の中間マークで最も速く動くことは驚くことではありません。その時点での質量の速度は4インチ（10.2 cm/s）であると仮定するかもしれません。中間点を上方に通過すると、システムの状態は（8インチ、4インチ/s）または（20.3 cm、10.2 cm/s）と記述できます。途中、質量は下向きに移動するため、その時点でのシステムの状態は（8インチ、-4インチ）または（20.3 cm、-10.2 cm/s）です。

これらおよびその他の状態のグラフシステムは、システムの進化を描いた楕円を生成します。このようなグラフは、位相プロットと呼ばれます。特定のシステムが通過する特定の軌跡は軌道です。

最初の塊がさらに塊を引き下げた場合、位相空間で追跡された数字はより大きな楕円になります。質量が平衡点で放出されていた場合 - スプリングの力が重力の力を正確にキャンセルするポイント - 質量は所定の位置にとどまるでしょう。これは、位相空間に単一のドットになります。したがって、このシステムの軌道は同心の楕円であることがわかります。

単一のオブジェクトで定義される機械システムの重要な側面を示しています。2つの軌道が交差することは不可能です。オブジェクトの状態を表す変数は、その将来を決定するため、軌道上のすべてのポイントへのパスと1つのパスのみがあります。したがって、軌道は互いに交差できません。このプロパティは、位相空間を使用してシステムを分析するのに非常に役立ちます。