Was ist ein Phasenraum?
Ein Phasenraum ist eine Abstraktion, mit der Physiker Systeme visualisieren und untersuchen. Jeder Punkt in diesem virtuellen Raum repräsentiert einen einzelnen möglichen Zustand des Systems oder eines seiner Teile. Diese Zustände werden in der Regel durch die Menge der dynamischen Variablen bestimmt, die für die Entwicklung des Systems relevant sind. Für Physiker ist der Phasenraum besonders nützlich, um mechanische Systeme wie Pendel, Planeten, die einen Zentralstern umkreisen, oder durch Federn verbundene Massen zu analysieren. In diesen Zusammenhängen wird der Zustand eines Objekts durch seine Position und Geschwindigkeit oder äquivalent durch seine Position und seinen Impuls bestimmt. Der Phasenraum kann auch verwendet werden, um nicht-klassische - und sogar nicht-deterministische - Systeme zu untersuchen, wie sie beispielsweise in der Quantenmechanik anzutreffen sind.
Eine Masse, die sich auf einer Feder auf und ab bewegt, liefert ein konkretes Beispiel eines mechanischen Systems, das zur Darstellung des Phasenraums geeignet ist. Die Bewegung der Masse wird durch vier Faktoren bestimmt: die Länge der Feder, die Steifheit der Feder, das Gewicht der Masse und die Geschwindigkeit der Masse. Nur die erste und letzte dieser Änderungen im Laufe der Zeit, vorausgesetzt, dass geringfügige Änderungen der Schwerkraft ignoriert werden. Somit wird der Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt ausschließlich durch die Länge der Feder und die Geschwindigkeit der Masse bestimmt.
Wenn jemand die Masse nach unten zieht, kann sich die Feder auf eine Länge von 25,4 cm (10 Zoll) dehnen. Wenn die Masse losgelassen wird, befindet sie sich momentan in Ruhe, sodass ihre Geschwindigkeit 0 in / s beträgt. Der Zustand des Systems zu diesem Zeitpunkt kann als (10 Zoll, 0 Zoll / s) oder (25,4 cm, 0 cm / s) beschrieben werden.
Die Masse beschleunigt zuerst nach oben und verlangsamt sich dann, wenn sich die Feder zusammendrückt. Die Masse hört möglicherweise auf zu steigen, wenn die Feder 15,2 cm lang ist. In diesem Moment befindet sich die Masse wieder in Ruhe, sodass der Zustand des Systems als (6 in, 0 in / s) oder (15,2 cm, 0 cm / s) beschrieben werden kann.
An den Endpunkten hat die Masse eine Geschwindigkeit von Null, so dass es nicht verwunderlich ist, dass sie sich auf halber Strecke zwischen ihnen am schnellsten bewegt, wobei die Länge der Feder 20,3 cm beträgt. Man könnte annehmen, dass die Geschwindigkeit der Masse an diesem Punkt 10,2 cm / s beträgt. Wenn der Mittelpunkt auf seinem Weg nach oben passiert wird, kann der Zustand des Systems als (8 Zoll, 4 Zoll / s) oder (20,3 cm, 10,2 cm / s) beschrieben werden. Auf dem Weg nach unten bewegt sich die Masse nach unten, sodass der Zustand des Systems an diesem Punkt (8 Zoll, -4 Zoll / s) oder (20,3 cm, -10,2 cm / s) beträgt.
Die grafische Darstellung dieser und anderer Zustände, die das System erfährt, erzeugt eine Ellipse, die die Entwicklung des Systems darstellt. Ein solcher Graph wird Phasendiagramm genannt. Die spezifische Flugbahn, die ein bestimmtes System durchläuft, ist seine Umlaufbahn.
Wäre die Masse zu Beginn weiter heruntergezogen worden, wäre die im Phasenraum nachgezeichnete Figur eine größere Ellipse. Wenn die Masse am Gleichgewichtspunkt - dem Punkt, an dem die Kraft der Feder genau die Schwerkraft aufhebt - freigesetzt worden wäre, würde die Masse an Ort und Stelle bleiben. Dies wäre ein einzelner Punkt im Phasenraum. Somit ist ersichtlich, dass die Bahnen dieses Systems konzentrische Ellipsen sind.
Das Beispiel der Masse auf einer Feder veranschaulicht einen wichtigen Aspekt mechanischer Systeme, die durch ein einzelnes Objekt definiert sind: Es ist unmöglich, dass sich zwei Bahnen schneiden. Die Variablen, die den Zustand des Objekts darstellen, bestimmen dessen Zukunft. Es kann also nur einen Pfad zu und einen Pfad von jedem Punkt auf seiner Umlaufbahn geben. Umlaufbahnen können sich daher nicht kreuzen. Diese Eigenschaft ist besonders nützlich für die Analyse von Systemen im Phasenraum.