スプラインとは
スプラインは、区分的多項式関数の一種です。 数学では、スプライン補間として知られるタイプの補間でスプラインがよく使用されます。 スプライン曲線は、複雑な形状を近似するために、コンピューターグラフィックスおよびコンピューター支援設計（CAD）でも使用されます。
補間は、離散データポイントのセットがあり、指定されたポイントから同じタイプのデータの他のポイントを推定する必要がある場合に使用されます。 多項式補間は、通常、少数のデータポイントに使用されます。 これは、n次の多項式関数をn + 1個のデータポイントに適合させる方法です。 ただし、ポイントの数が多くなると、多項式補間はデータにうまく適合しないことがよくあります。 これらの場合、代わりにスプライン補間がよく使用されます。
多項式補間は一度にすべてのデータポイントを通る曲線に適合しますが、スプライン補間はデータポイントの各近接ペア間の曲線を近似し、すべての曲線を加算して最終近似を作成します。 これが、スプラインが滑らかな曲線ではなく区分的関数である理由です。 一般的に使用されるスプライン補間手法には、線形補間、2次補間、3次補間があります。
線形スプライン補間は、データポイントの各連続ペアを通る直線に単純に適合します。 各ラインセクションは、データの分布に応じて、他のセクションと同様または非常に異なる勾配を持つ場合があります。 2つのデータポイント間の特定のx値のデカルト座標系でy値を見つけるには、特定のポイント間の傾きに、y値が必要なx値とポイントのx値との間の距離を乗算します。その左。 次に、この数値を目的の場所の左側のy値に追加して、2つのポイント間のy値の近似値を取得します。
二次スプライン補間は、二次多項式により連続するポイント間のデータを近似します。 これらの二次方程式の係数を見つけるために、連立方程式を解くためのいくつかの方法を適用することができます。 線形代数手法またはコンピューターソフトウェアを使用した解法は、使用されるより一般的な手法の一部です。 2次スプラインの補間されたy値は、一般的な2次方程式y = a * x 2 + b * x + cを使用して、以前に決定されたa、b、およびc係数で求められます。
3次スプライン補間では、3次多項式関数または3次多項式関数を使用して、連続するポイント間のデータを近似します。 このタイプのスプラインは通常、コンピューターソフトウェアまたはグラフ計算機を使用して計算されます。 クランプスプライン補間または完全スプライン補間と呼ばれる特別なタイプの3次スプライン補間では、曲線の両端に指定された勾配を使用して、関数の計算に役立ちます。