Was ist ein Spline?
Ein Spline ist eine Art stückweise Polynomfunktion. In der Mathematik werden Splines häufig in einer Art von Interpolation verwendet, die als Spline-Interpolation bezeichnet wird. Spline-Kurven werden auch in Computergrafiken und computergestütztem Design (CAD) verwendet, um komplexe Formen zu approximieren.
Die Interpolation wird verwendet, wenn eine Reihe von diskreten Datenpunkten vorhanden ist und aus den angegebenen Punkten andere Punkte desselben Datentyps geschätzt werden müssen. Die Polynominterpolation wird üblicherweise für eine kleine Anzahl von Datenpunkten verwendet. Dies ist eine Methode, die eine Polynomfunktion n-ter Ordnung an n + 1 Datenpunkte anpasst. Wenn die Anzahl der Punkte jedoch größer wird, passen Polynominterpolationen häufig nicht gut zu den Daten. In diesen Fällen wird häufig eine Spline-Interpolation verwendet.
Während die Polynominterpolation eine Kurve durch alle Datenpunkte gleichzeitig anpasst, approximiert die Spline-Interpolation eine Kurve zwischen jedem benachbarten Paar von Datenpunkten und addiert alle Kurven, um die endgültige Approximation zu erstellen. Aus diesem Grund sind Splines stückweise Funktionen und keine glatten Kurven. Häufig verwendete Spline-Interpolationstechniken umfassen lineare, quadratische und kubische Interpolation.
Die lineare Spline-Interpolation passt einfach gerade Linien durch jedes aufeinanderfolgende Paar von Datenpunkten. Abhängig von der Verteilung der Daten kann jeder Linienabschnitt eine ähnliche oder sehr unterschiedliche Steigung als der andere Abschnitt aufweisen. Um den y-Wert in einem kartesischen Koordinatensystem für einen gegebenen x-Wert zwischen zwei Datenpunkten zu finden, wird die Steigung zwischen den gegebenen Punkten mit dem Abstand zwischen dem x-Wert, für den der y-Wert gewünscht wird, und dem x-Wert für den Punkt zu multipliziert es ist links. Diese Zahl wird dann zum y-Wert links von der gewünschten Stelle addiert, um die Näherung für den y-Wert zwischen den beiden Punkten zu erhalten.
Die quadratische Spline-Interpolation approximiert die Daten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten durch ein quadratisches Polynom. Um die Koeffizienten dieser quadratischen Gleichungen zu finden, kann eine Anzahl von Verfahren zum Lösen simultaner Gleichungen angewendet werden. Lineare Algebratechniken oder das Lösen mit Hilfe von Computersoftware sind einige der gebräuchlichsten Techniken. Ein interpolierter y-Wert auf einem quadratischen Spline wird unter Verwendung der allgemeinen quadratischen Gleichung y = a · x 2 + b · x + c mit den zuvor bestimmten Koeffizienten a, b und c gefunden.
Bei der kubischen Spline-Interpolation wird eine Polynomfunktion kubischer oder dritter Ordnung verwendet, um die Daten zwischen aufeinanderfolgenden Punkten zu approximieren. Diese Art von Spline wird normalerweise mit einer Computersoftware oder einem Grafikrechner berechnet. Eine spezielle Art der kubischen Spline-Interpolation, die als geklemmte oder vollständige Spline-Interpolation bezeichnet wird, verwendet Steigungen, die an den Enden der Kurve angegeben sind, um die Berechnung der Funktion zu erleichtern.