Qu'est-ce qu'une spline?
Une spline est un type de fonction polynomiale par morceaux. En mathématiques, les splines sont souvent utilisées dans un type d'interpolation appelé interpolation de splines. Les courbes splines sont également utilisées en infographie et en conception assistée par ordinateur (CAD) pour approcher des formes complexes.
L'interpolation est utilisée lorsqu'il existe un ensemble de points de données discrets et qu'il est nécessaire d'estimer d'autres points du même type de données à partir des points donnés. L'interpolation polynomiale est couramment utilisée pour un petit nombre de points de données. c'est une méthode qui adapte une fonction polynomiale d'ordre n à n + 1 points de données. Cependant, lorsque le nombre de points augmente, les interpolations polynomiales ne correspondent souvent pas bien aux données. Dans ce cas, l’interpolation par splines est souvent utilisée.
Alors que l'interpolation polynomiale adapte une courbe à tous les points de données à la fois, l'interpolation de splines approche une courbe entre chaque paire de points de données et ajoute toutes les courbes ensemble pour créer l'approximation finale. C'est pourquoi les splines sont des fonctions par morceaux plutôt que des courbes lisses. Les techniques d'interpolation de splines couramment utilisées comprennent les interpolations linéaire, quadratique et cubique.
L’interpolation par splines linéaires adapte simplement les lignes droites à chaque paire consécutive de points de données. Chaque section de ligne peut avoir une pente similaire ou très différente de celle de l'autre section, en fonction de la distribution des données. Pour trouver la valeur y sur un système de coordonnées cartésien pour une valeur x donnée entre deux points de données, multipliez la pente entre les points donnés par la distance entre la valeur x pour laquelle vous souhaitez la valeur y et la valeur x du point à sa gauche. Ce nombre est ensuite ajouté à la valeur y située à gauche de l'emplacement souhaité pour obtenir l'approximation de la valeur y entre les deux points.
L'interpolation par splines quadratiques permet d'approximer les données entre des points consécutifs par un polynôme quadratique. Pour trouver les coefficients de ces équations quadratiques, plusieurs méthodes de résolution d’équations simultanées peuvent être appliquées. Les techniques d'algèbre linéaire ou la résolution à l'aide de logiciels informatiques sont parmi les techniques les plus courantes. Une valeur y interpolée sur une spline quadratique est obtenue en utilisant l'équation quadratique générale, y = a * x 2 + b * x + c, les coefficients a, b et c étant précédemment déterminés.
L'interpolation par splines cubiques utilise une fonction polynomiale cubique ou du troisième ordre pour approximer les données entre des points consécutifs. Ce type de spline est généralement calculé à l'aide d'un logiciel informatique ou d'une calculatrice graphique. Un type spécial d'interpolation de splines cubiques, appelé interpolation de splines bridées ou complètes, utilise les pentes indiquées aux extrémités de la courbe pour faciliter le calcul de la fonction.