Che cos'è una spline?
Una spline è un tipo di funzione polinomiale a tratti. In matematica, le spline sono spesso utilizzate in un tipo di interpolazione noto come interpolazione spline. Le curve spline sono utilizzate anche nella computer grafica e nella progettazione assistita da computer (CAD) per approssimare forme complesse.
L'interpolazione viene utilizzata quando esiste un set di punti dati discreti ed è necessario stimare altri punti dello stesso tipo di dati dai punti dati. L'interpolazione polinomiale è comunemente usata per un piccolo numero di punti dati; questo è un metodo che adatta una funzione polinomiale di ordine n a n + 1 punti dati. Quando il numero di punti aumenta, tuttavia, le interpolazioni polinomiali spesso non si adattano bene ai dati. In questi casi, invece, viene spesso utilizzata l'interpolazione spline.
Mentre l'interpolazione polinomiale si adatta a una curva attraverso tutti i punti di dati contemporaneamente, l'interpolazione della spline approssima una curva tra ciascuna coppia di punti di dati prossimali e aggiunge tutte le curve per creare l'approssimazione finale. Questo è il motivo per cui le spline sono funzioni a tratti anziché curve morbide. Le tecniche di interpolazione spline comunemente utilizzate comprendono l'interpolazione lineare, quadratica e cubica.
L'interpolazione della spline lineare si adatta semplicemente alle linee rette attraverso ciascuna coppia consecutiva di punti dati. Ogni sezione di linea può avere una pendenza simile o molto diversa dall'altra sezione, a seconda della distribuzione dei dati. Per trovare il valore y su un sistema di coordinate cartesiane per un dato valore x tra due punti dati, la pendenza tra i punti dati viene moltiplicata per la distanza tra il valore x per cui si desidera il valore y e il valore x per il punto a è a sinistra. Questo numero viene quindi aggiunto al valore y a sinistra della posizione desiderata per ottenere l'approssimazione per il valore y tra i due punti.
L'interpolazione della spline quadratica approssima i dati tra punti consecutivi di un polinomio quadratico. Per trovare i coefficienti di queste equazioni quadratiche, è possibile applicare una serie di metodi per risolvere equazioni simultanee. Le tecniche di algebra lineare o la risoluzione mediante l'uso di software sono alcune delle tecniche più comuni utilizzate. Un valore y interpolato su una spline quadratica viene trovato usando l'equazione quadratica generale, y = a * x 2 + b * x + c, con i coefficienti a, b e c precedentemente determinati.
L'interpolazione della spline cubica utilizza una funzione polinomiale cubica o di terzo ordine per approssimare i dati tra punti consecutivi. Questo tipo di spline viene solitamente calcolato utilizzando un software per computer o una calcolatrice grafica. Un tipo speciale di interpolazione spline cubica, chiamata interpolazione spline bloccata o completa, utilizza le pendenze fornite alle estremità della curva per aiutare a calcolare la funzione.