Co to jest splajn?
Splajn jest rodzajem częściowej funkcji wielomianowej. W matematyce splajny są często używane w rodzaju interpolacji znanej jako interpolacja splajnu. Krzywe splajnu są również używane w grafice komputerowej i projektowaniu wspomaganym komputerowo (CAD) do przybliżania złożonych kształtów.
Interpolacja jest stosowana, gdy istnieje zbiór dyskretnych punktów danych i konieczne jest oszacowanie innych punktów tego samego typu danych z danych punktów. Interpolacja wielomianowa jest powszechnie stosowana w przypadku małej liczby punktów danych; jest to metoda, która pasuje do funkcji wielomianu rzędu n do n + 1 punktów danych. Jednak gdy liczba punktów staje się większa, interpolacje wielomianowe często nie pasują do danych. W takich przypadkach często używana jest interpolacja splajnu.
Podczas gdy interpolacja wielomianowa dopasowuje krzywą jednocześnie do wszystkich punktów danych, interpolacja splajnu przybliża krzywą między każdą bliższą parą punktów danych i dodaje wszystkie krzywe razem, aby utworzyć ostateczne przybliżenie. Dlatego splajny są funkcjami częściowymi, a nie gładkimi krzywymi. Powszechnie stosowane techniki interpolacji splajnów obejmują interpolację liniową, kwadratową i sześcienną.
Interpolacja splajnu liniowego po prostu dopasowuje linie proste przez każdą kolejną parę punktów danych. Każda sekcja linii może mieć podobne lub bardzo różne nachylenie od drugiej sekcji, w zależności od rozkładu danych. Aby znaleźć wartość y na kartezjańskim układzie współrzędnych dla danej wartości x między dwoma punktami danych, nachylenie między podanymi punktami jest mnożone przez odległość między wartością x, dla której pożądana jest wartość y, a wartością x dla punktu do jego lewa strona. Liczba ta jest następnie dodawana do wartości y po lewej stronie żądanej lokalizacji, aby uzyskać przybliżenie wartości y między dwoma punktami.
Kwadratowa interpolacja splajnu przybliża dane między kolejnymi punktami przez kwadratowy wielomian. Aby znaleźć współczynniki tych równań kwadratowych, można zastosować szereg metod rozwiązywania równań równoczesnych. Techniki algebry liniowej lub rozwiązywanie za pomocą oprogramowania komputerowego są jednymi z bardziej powszechnych stosowanych technik. Interpolowana wartość y na splajnie kwadratowym jest określana za pomocą ogólnego równania kwadratowego, y = a * x 2 + b * x + c, przy uprzednio określonych współczynnikach a, b i c.
Interpolacja splajnu sześciennego korzysta z funkcji wielomianu sześciennego lub trzeciego rzędu w celu przybliżenia danych między kolejnymi punktami. Ten typ splajnu jest zwykle obliczany za pomocą oprogramowania komputerowego lub kalkulatora graficznego. Specjalny rodzaj sześciennej interpolacji splajnu, zwany interpolacją zaciśniętą lub całkowitą, używa nachyleń podanych na końcach krzywej, aby pomóc obliczyć funkcję.