クロネッカーデルタとは
δi 、jで表されるクロネッカーデルタ関数は、 iとjが等しい場合は1に等しく、そうでない場合は0に等しい2項関数です。 技術的には2つの変数の関数ですが、実際には表記上の略記として使用され、複雑な数学ステートメントをコンパクトに記述することができます。 線形代数、テンソル解析、デジタル信号処理に携わる数学者、物理学者、およびエンジニアは、クロネッカーデルタ関数を、数行のテキストが必要なものを単一の方程式で伝える手段として使用します。
この関数は、シグマ表記を含む方程式の記述を単純化するために最もよく使用されます。シグマ表記は、それ自体が複雑な合計を参照する簡潔な方法です。 たとえば、会社に30人の従業員{ e 1 、e 2 ... e 30 }があり、各従業員が異なる時間数{ h 1 、h 2 ... h 30 }を異なる時間給{ r 1 、r 2 ... r 30 }、これらの従業員に仕事のために支払われる合計金額はe 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +に等しくなります。 .. e 30 * h 30 * r 30 。 数学者はこれを∑ i e i * h i * r iと簡潔に書くことができます。
複数の次元を含む物理システムを記述する場合、物理学者は頻繁に二重加算を使用する必要があります。 実際の科学的応用は非常に複雑ですが、具体的な例は、クロネッカーデルタ関数がこれらの場合に式を単純化する方法を示しています。
モールには3つの衣料品店があり、それぞれが異なるブランドを販売しています。 合計20種類のシャツが利用可能です：店舗1で8種類、店舗2で7種類、店舗3で5種類のパンツがあります：パンツ1種類5種類、店舗2種類3種類、店舗3種類4種類です。シャツには20のオプションがあり、パンツには12のオプションがあるため、240の可能な衣装を購入できます。 各組み合わせは、異なる衣装を生み出します。
シャツとズボンが別々の店から来ている服を選択する方法の数を計算するのは簡単ではありません。 ストア1からシャツを、ストア2からパンツを8 * 3の方法で選択できます。 ストア1からシャツを、ストア3からパンツを選択する8 * 4の方法があります。この方法を続けると、異なるストアの記事を使用した衣装の合計数は8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7であることがわかります。 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199。
シャツとパンツの可用性は、2つのシーケンス{ s 1 、s 2 、s 3 } = {8、7、5}および{ p 1 、p 2 、p 3 } = {5、3、4}と考えることができます。 次に、クロネッカーデルタ関数を使用すると、この合計を単に∑ i ∑ j s i * p j *（1-δi 、j ）と書くことができます。 （1-δi 、j ）項は、同じ店で購入したシャツとズボンを含む服装を削除します。その場合、 i = jなので、δi、j = 1および（1-δi 、j ）= 0であるためです。用語に0を掛けると、合計から削除されます。
クロネッカーデルタ関数は、多次元空間を分析するときに最も頻繁に使用されますが、実数直線のような1次元空間を調べるときにも使用できます。 その場合、単一入力バリアントがよく使用されます。n = 0の場合、δ（ n ）= 1。 それ以外の場合、δ（ n ）= 0。 Kroneckerデルタ関数を使用して実数に関する複雑な数学ステートメントを単純化する方法を確認するには、入力が単純化された小数である次の2つの関数を検討します。
a = b +1の場合はf（a / b） = a 、 b = a +1の場合はf（a / b） = -b 、それ以外の場合はf（a / b） = 0。
g（a / b） = a *δ（ a - b -1）– b *δ（ a - b +1）
関数fとgは同一ですが、 gの定義はよりコンパクトであり、英語を必要としないため、世界中の数学者が理解できます。
これらの例で示すように、クロネッカーデルタ関数の入力は通常、値のシーケンスに接続された整数です。 ディラックデルタ分布は、シーケンスを合計するのではなく関数を統合するときに使用されるクロネッカーデルタ関数の連続的な類似体です。