Hva er Kronecker -deltaet?

Kronecker delta -funksjonen, betegnet Δ i, j , er en binær funksjon som tilsvarer 1 hvis i og j er like og lik 0 ellers. Selv om det teknisk sett er en funksjon av to variabler, brukes det i praksis som notasjonshåndtering, slik at kompliserte matematiske uttalelser kan skrives kompakt. Matematikere, fysikere og ingeniører som jobber i lineær algebra, tensoranalyse og digital signalbehandling bruker Kronecker Delta -funksjonen som en hensiktsmessig å formidle i en enkelt ligning som ellers kan ta flere tekstlinjer.

Denne funksjonen er oftest brukt for å forenkle skriften til å henvise til å referere til en. For eksempel, hvis et selskap har 30 ansatte { e 1 , e 2 ... e 30 }, og hver ansatt jobber et annet antall timer { h 1 , h 2 ... H _{30 , h 2 ...Vår rate { r 1 , r 2 ... r 30 }, tilsvarer de totale pengene som er betalt til disse ansatte for arbeidet e 2 *h 2 *r 2 + e 3 *h 3 *r 3 + ... e 30 *h 30 *r 30} . Matematikere kan skrive dette kortfattet som ∑ _{i e i *h i *r i} .

Når du beskriver fysiske systemer som involverer flere dimensjoner, må fysiker ofte bruke dobbelt summasjoner. De praktiske vitenskapelige applikasjonene er veldig komplekse, men et konkret eksempel viser hvordan Kronecker delta -funksjonen kan forenkle uttrykk i disse tilfellene.

Det er tre klesbutikker i et kjøpesenter, som hver selger et annet merke. Totalt 20 stiler med skjorter er tilgjengelige: åtte tilbudt av butikk 1, syv som tilbys av butikk 2 anD Fem som tilbys i butikken 3. Tolv stiler med bukser er tilgjengelige: fem i butikk 1, tre i butikk 2 og fire i butikken 3. Man kan kjøpe 240 mulige antrekk, fordi det er 20 alternativer for skjorta og 12 alternativer for buksene. Hver kombinasjon gir et annet antrekk.

Det er ikke så enkelt å beregne antall måter å velge et antrekk der skjorten og buksene er fra forskjellige butikker. Man kan velge en skjorte fra butikk 1 og bukser fra butikk 2 på 8*3 måter. Det er 8*4 måter å velge en skjorte fra butikk 1 og bukser fra butikk. Man kan betrakte tilgjengeligheten av skjorter og bukser som to sekvenser, { s 1 , S 2 , S ₃ } = {8, 7, 5, 3, 3, p _{<{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{8, 3. 4}. Da tillater KRONECKER DELTA -funksjonen denne summen å skrives som bare ∑i ∑j si * pj * (1- δi,j). (1- Δ I, J ) -begrepet eliminerer disse antrekkene som består av en skjorte og bukser kjøpt i samme butikk fordi i så fall i = , So Δ i, J I, J i i, J i. Å multiplisere begrepet med 0 fjerner det fra summen.}

Kronecker delta-funksjonen brukes hyppigst når man analyserer flerdimensjonale rom, men den kan også brukes når du studerer endimensjonale rom, som den virkelige talllinjen. I så fall brukes ofte en enkelt-inngangsvariant: Δ ( n ) = 1 hvis n = 0; Δ ( n ) = 0 ellers. For å se hvordan Kronecker Delta -funksjonen kan brukes til å forenkle komplekse matematiske utsagn om de reelle tallene, kan man vurdere følgende to funksjoner hvis innganger er forenklede fraksjoner:

f (a/b) = a if a =b+1, f(a/b) = -b if b=a+1, and f(a/b) = 0 otherwise.
g(a/b) = a*δ(a-b-1) –b*δ(a-b+1)

Funksjonene f og g er identiske, men definisjonen for g er mer kompakt og krever ingen engelsk, så det kan forstås av enhver matematiker i verden.

Som illustrert av disse eksemplene, er inngangene til Kronecker Delta -funksjonen vanligvis heltall som er koblet til en eller annen sekvens av verdier. Dirac Delta -distribusjonen er en kontinuerlig analog av Kronecker Delta -funksjonen som brukes når du integrerer funksjoner i stedet for summeringssekvenser.