Hva er Kronecker Delta?
Kronecker delta-funksjonen, betegnet δ i, j , er en binær funksjon som er lik 1 hvis i og j er like og lik 0 ellers. Selv om det teknisk sett er en funksjon av to variabler, brukes den i praksis som notasjonskortografi, slik at kompliserte matematiske utsagn kan skrives kompakt. Matematikere, fysikere og ingeniører som arbeider i lineær algebra, tensoranalyse og digital signalbehandling bruker Kronecker delta-funksjonen som en hensiktsmessig for å formidle i en enkelt ligning det som ellers kan ta flere tekstlinjer.
Denne funksjonen brukes hyppigst for å forenkle skrivingen av ligninger som involverer sigma-notasjon, som i seg selv er en kortfattet metode for å referere til kompliserte summer. For eksempel, hvis et selskap har 30 ansatte { e 1 , e 2 ... e 30 }, og hver ansatt jobber et annet antall timer { h 1 , h 2 ... h 30 } med en annen timepris { r 1 , r 2 ... r 30 }, den totale pengene som er betalt til disse ansatte for deres arbeid tilsvarer e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Matematikere kan skrive dette kortfattet som ∑ i e i * h i * r i .
Når fysikere beskriver fysiske systemer som involverer flere dimensjoner, må fysikere ofte bruke doble summeringer. De praktiske vitenskapelige anvendelsene er veldig sammensatte, men et konkret eksempel viser hvordan Kronecker delta-funksjonen kan forenkle uttrykk i disse tilfellene.
Det er tre klesbutikker i et kjøpesenter, som hver selger et annet merke. Totalt 20 stiler av skjorter er tilgjengelige: åtte tilbys av butikk 1, syv tilbys av butikk 2 og fem tilbys i butikk 3. Tolv stiler av bukser er tilgjengelige: fem i butikk 1, tre i butikk 2 og fire i butikk 3. Man kan kjøpe 240 mulige antrekk, fordi det er 20 alternativer for skjorten og 12 alternativer for buksen. Hver kombinasjon gir et annet antrekk.
Det er ikke så enkelt å beregne antall måter å velge et antrekk på som skjorten og buksen er fra forskjellige butikker. Man kan velge en skjorte fra butikk 1 og bukser fra butikk 2 på 8 * 3 måter. Det er 8 * 4 måter å velge en skjorte fra butikk 1 og bukser fra butikk 3. Ved å fortsette på denne måten finner man at antallet antrekk ved bruk av artikler fra forskjellige butikker er 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Man kunne betrakte tilgjengeligheten av skjorter og bukser som to sekvenser, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} og { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Da gjør Kronecker delta-funksjonen at denne summen kan skrives som ganske enkelt ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). Begrepet (1- 5 i, j ) eliminerer antrekkene som inkluderer en skjorte og bukser som er kjøpt i samme butikk, fordi i dette tilfellet er i = j , så δ i, j = 1 og (1- 6 i, j ) = 0. Å multiplisere begrepet med 0 fjerner det fra summen.
Kronecker delta-funksjonen brukes hyppigst når du analyserer flerdimensjonale rom, men den kan også brukes når du studerer endimensjonale rom, som den reelle talllinjen. I så fall brukes ofte en enkelt-inngangsvariant: δ ( n ) = 1 hvis n = 0; 5 ( n ) = 0 ellers. For å se hvordan Kronecker delta-funksjonen kan brukes til å forenkle komplekse matematiske utsagn om de reelle tallene, kan man vurdere følgende to funksjoner hvis innganger er forenklet brøk:
f (a / b) = a hvis a = b +1, f (a / b) = -b hvis b = a +1, og f (a / b) = 0 ellers.
g (a / b) = a * 5 ( a - b -1) - b * 5 ( a - b +1)
Funksjonene f og g er identiske, men definisjonen for g er mer kompakt og krever ikke engelsk, så det kan forstås av enhver matematiker i verden.
Som illustrert av disse eksemplene, er inngangene til Kronecker delta-funksjonen vanligvis heltall som er koblet til en eller annen verdisekvens. Dirac delta-distribusjonen er en kontinuerlig analog av Kronecker delta-funksjonen som brukes når du integrerer funksjoner i stedet for å summere sekvenser.