O que é o Delta Kronecker?
A função delta do Kronecker, denominada δ i, j , é uma função binária que é igual a 1 se iej são iguais e iguais a 0 em caso contrário. Embora tecnicamente seja uma função de duas variáveis, na prática é usado como taquigrafia notacional, permitindo que declarações matemáticas complicadas sejam escritas de forma compacta. Matemáticos, físicos e engenheiros que trabalham em álgebra linear, análise de tensores e processamento de sinais digitais usam a função delta Kronecker como um expediente para transmitir em uma única equação o que de outra forma poderia levar várias linhas de texto.
Essa função é mais frequentemente empregada para simplificar a escrita de equações que envolvem notação sigma, que por si só é um método conciso de referência a somas complicadas. Por exemplo, se uma empresa tiver 30 funcionários { e 1 , e 2 ... e 30 } e cada funcionário trabalhar um número diferente de horas { h 1 , h 2 ... h 30 } a uma taxa horária diferente { r 1 , r 2 ... r 30 }, o dinheiro total pago a esses funcionários por seu trabalho é igual a e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Os matemáticos podem escrever isso de forma concisa como e i e i * h i * r i .
Ao descrever sistemas físicos que envolvem múltiplas dimensões, os físicos frequentemente devem usar somas duplas. As aplicações científicas práticas são muito complexas, mas um exemplo concreto mostra como a função delta do Kronecker pode simplificar expressões nesses casos.
Existem três lojas de roupas em um shopping, cada uma vendendo uma marca diferente. Um total de 20 estilos de camisas estão disponíveis: oito oferecidos pela loja 1, sete oferecidos pela loja 2 e cinco oferecidos pela loja 3. Doze estilos de calças estão disponíveis: cinco na loja 1, três na loja 2 e quatro na loja 3. Pode-se comprar 240 roupas possíveis, porque existem 20 opções para a camisa e 12 opções para as calças. Cada combinação produz uma roupa diferente.
Não é tão simples calcular o número de maneiras de selecionar uma roupa na qual a camisa e a calça são de lojas diferentes. Pode-se selecionar uma camisa da loja 1 e calças da loja 2 de 8 * 3 maneiras. Existem 8 * 4 maneiras de selecionar uma camisa da loja 1 e uma calça da loja 3. Continuando dessa maneira, o número total de roupas usando artigos de diferentes lojas é 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Pode-se considerar a disponibilidade de camisas e calças como duas seqüências, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} e { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Então a função delta do Kronecker permite que essa soma seja escrita como simplesmente ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). O termo (1- δ i, j ) elimina aquelas roupas que compreendem camisa e calça compradas na mesma loja porque, nesse caso, i = j , então δ i, j = 1 e (1- δ i, j ) = 0. Multiplicar o termo por 0 remove-o da soma.
A função delta do Kronecker é usada com mais frequência na análise de espaços multidimensionais, mas também pode ser usada no estudo de espaços unidimensionais, como a linha numérica real. Nesse caso, uma variante de entrada única é frequentemente usada: δ ( n ) = 1 se n = 0; δ ( n ) = 0 caso contrário. Para ver como a função delta do Kronecker pode ser usada para simplificar declarações matemáticas complexas sobre os números reais, pode-se considerar as duas funções a seguir cujas entradas são frações simplificadas:
f (a / b) = a se a = b +1, f (a / b) = -b se b = a +1 ef (a / b) = 0 em caso contrário.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
As funções f e g são idênticas, mas a definição de g é mais compacta e não requer inglês, portanto pode ser entendida por qualquer matemático do mundo.
Conforme ilustrado por esses exemplos, as entradas da função delta Kronecker geralmente são números inteiros conectados a alguma sequência de valores. A distribuição delta Dirac é um análogo contínuo da função delta Kronecker usada na integração de funções em vez de somar seqüências.