Qual é o Delta do Kronecker?

A função Delta do Kronecker, denotada Δ i, j , é uma função binária que é igual a 1 se i e j são iguais e equivale a 0 de outra forma. Embora tecnicamente seja uma função de duas variáveis, na prática é usada como abreviação notacional, permitindo que declarações matemáticas complicadas sejam escritas de forma compacta. Matemáticos, físicos e engenheiros que trabalham em álgebra linear, análise de tensores e processamento de sinais digitais usam a função Delta do Kronecker como um expediente para transmitir em uma única equação que, de outra forma, pode levar várias linhas de texto. Por exemplo, se uma empresa possui 30 funcionários { e 1 , e 2 ... e 30 }, e cada funcionário trabalha um número diferente de horas { h 1 2 r 1 , r _{2 ... r 30} }, o dinheiro total pago a esses funcionários por seu trabalho é igual a e 1 1 ***************. + E 3 *H 3 *r 3 + ... e _{30 *H 30} *r _{30 . Os matemáticos podem escrever isso de forma concisa como ∑ i} e i *h i *r _i .

Ao descrever sistemas físicos que envolvem múltiplas dimensões, os físicos devem usar frequentemente. As aplicações científicas práticas são muito complexas, mas um exemplo concreto mostra como a função Kronecker Delta pode simplificar expressões nesses casos.

Existem três lojas de roupas em um shopping, cada uma vendendo uma marca diferente. Um total de 20 estilos de camisas estão disponíveis: oito oferecidos pela loja 1, sete oferecidos pela loja 2 eD Cinco oferecidos na loja 3. Doze estilos de calças estão disponíveis: cinco na loja 1, três na loja 2 e quatro na loja 3. Pode -se comprar 240 roupas possíveis, porque existem 20 opções para a camisa e 12 opções para as calças. Cada combinação produz uma roupa diferente.

Não é tão simples calcular o número de maneiras de selecionar uma roupa na qual a camisa e as calças são de diferentes lojas. Pode -se selecionar uma camisa da loja 1 e calças da loja 2 em 8*3 maneiras. Existem 8*4 maneiras de selecionar uma camisa da loja 1 e calças da loja 3. Continuando dessa maneira, encontramos o número total de roupas usando artigos de diferentes lojas é 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 = 199.

Pode -se considerar a disponibilidade de camisas e calças como duas seqüências, { s _{, s , s} } = {8, 7, 5} e { 1 3, p. 3, 4}. Então a função Kronecker Delta permite que essa soma seja escrita como simplesmente ∑ i ∑ j s i * p j * (1- Δ i, j ). O termo (1- Δ i, j ) elimina as roupas que compreendem uma camisa e calça compradas na mesma loja, porque nesse caso i = j , SO Δ _{i, j = 1 e 1- δ- O termo por 0 remove -o da soma.}

A função Delta do Kronecker é usada com mais frequência ao analisar espaços multidimensionais, mas também pode ser usado ao estudar espaços unidimensionais, como a linha de números real. Nesse caso, uma variante de entrada única é frequentemente usada: δ ( n ) = 1 se n = 0; δ ( n ) = 0 caso contrário. Para ver como a função Kronecker Delta pode ser usada para simplificar declarações matemáticas complexas sobre os números reais, pode -se considerar as duas funções a seguir cujas entradas são frações simplificadas:

f (a/b) = a se a = b +1, f (a/b) = -b se b = a +1 e f (a/b) = 0. g (a/b) = a *Δ ( a - b -1)- b *Δ ( a - b +1)

As funções f e g são idênticas, mas a definição para g é mais compacta e não requer inglês, por isso pode ser entendida por qualquer matemático do mundo.

Como ilustrado por esses exemplos, as entradas da função Delta do Kronecker normalmente são inteiros conectados a alguma sequência de valores. A distribuição Dirac Delta é um análogo contínuo da função Delta do Kronecker usada ao integrar funções em vez de sequências de soma.