Hvad er Kronecker Delta?
Kronecker delta-funktionen, betegnet δ i, j , er en binær funktion, der er lig med 1, hvis i og j er ens og ellers lig med 0. Selvom det teknisk set er en funktion af to variabler, bruges det i praksis som notational korthed, hvilket gør det muligt at skrive komplicerede matematiske udsagn kompakt. Matematikere, fysikere og ingeniører, der arbejder inden for lineær algebra, tensoranalyse og digital signalbehandling, bruger Kronecker delta-funktionen som en hensigtsmæssig måde at formidle i en enkelt ligning, hvad der ellers kan tage flere linjer tekst.
Denne funktion bruges hyppigst til at forenkle skrivningen af ligninger, der involverer sigma notation, som i sig selv er en kortfattet metode til at henvise til komplicerede summer. For eksempel, hvis en virksomhed har 30 ansatte { e 1 , e 2 ... e 30 }, og hver medarbejder arbejder et andet antal timer { h 1 , h 2 ... h 30 } med en anden timepris { r 1 , r 2 ... r 30 }, den samlede penge, der betales til disse ansatte for deres arbejde, er lig med 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Matematikere kan skrive dette kortfattet som ∑ i e i * h i * r i .
Når fysiske systemer beskrives, der involverer flere dimensioner, skal fysikere ofte bruge dobbelt summationer. De praktiske videnskabelige anvendelser er meget komplekse, men et konkret eksempel viser, hvordan Kronecker delta-funktion kan forenkle udtryk i disse tilfælde.
Der er tre tøjbutikker i et indkøbscenter, der hver sælger et andet mærke. I alt findes 20 stilarter af skjorter: otte tilbydes i butik 1, syv tilbydes i butik 2 og fem tilbydes i butik 3. Tolv stilarter af bukser er tilgængelige: fem i butik 1, tre i butik 2 og fire i butik 3. Man kan købe 240 mulige tøj, fordi der er 20 muligheder for skjorten og 12 muligheder for bukserne. Hver kombination giver et andet tøj.
Det er ikke så simpelt at beregne antallet af måder at vælge et tøj, hvor skjorte og bukser er fra forskellige butikker. Man kan vælge en skjorte fra butik 1 og bukser fra butik 2 på 8 * 3 måder. Der er 8 * 4 måder at vælge en skjorte fra butik 1 og bukser fra butik 3. Hvis man fortsætter på denne måde, finder man det samlede antal udstyr, der bruger artikler fra forskellige butikker, er 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Man kunne betragte tilgængeligheden af skjorter og bukser som to sekvenser, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} og { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Derefter tillader Kronecker delta-funktionen, at denne sum kan skrives som simpelthen ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). (1- δ i, j ) udtrykket eliminerer de tøj, der omfatter en skjorte og bukser, der er købt i den samme butik, fordi i dette tilfælde er i = j , så δ i, j = 1 og (1- δ i, j ) = 0. Ved at multiplicere udtrykket med 0 fjernes det fra summen.
Kronecker delta-funktionen bruges hyppigst til analyse af multidimensionelle rum, men den kan også bruges, når man studerer endimensionelle rum, som den rigtige tallinje. I dette tilfælde bruges ofte en enkeltindgangsvariant: δ ( n ) = 1, hvis n = 0; δ ( n ) = 0 ellers. For at se, hvordan Kronecker delta-funktionen kan bruges til at forenkle komplekse matematiske udsagn om de reelle tal, kan man overveje følgende to funktioner, hvis input er forenklede fraktioner:
f (a / b) = a hvis a = b +1, f (a / b) = -b hvis b = a +1, og f (a / b) = 0 ellers.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * 5 ( a - b +1)
Funktionerne f og g er identiske, men definitionen for g er mere kompakt og kræver ikke engelsk, så det kan forstås af enhver matematiker i verden.
Som illustreret ved disse eksempler er inputene til Kronecker delta-funktionen typisk heltal, der er forbundet til en række sekvenser af værdier. Dirac delta-fordelingen er en kontinuerlig analog af Kronecker delta-funktionen, der bruges til at integrere funktioner i stedet for at summere sekvenser.