크로네 커 델타는 무엇입니까?
δ i, j 로 표시된 크로네 커 델타 함수는 i 와 j 가 같으면 1이고 그렇지 않으면 0과 같은 이진 함수입니다. 기술적으로는 두 변수의 함수이지만 실제로는 표기법 속기로 사용되어 복잡한 수학 설명을 간결하게 작성할 수 있습니다. 선형 대수, 텐서 분석 및 디지털 신호 처리 분야에서 일하는 수학자, 물리학 자 및 엔지니어는 크로네 커 델타 함수를 하나의 방정식으로 전달하여 여러 줄의 텍스트를 취할 수있는 편의를 제공합니다.
이 함수는 시그마 표기법이 포함 된 방정식 작성을 단순화하기 위해 가장 자주 사용되며, 이는 복잡한 합계를 참조하는 간결한 방법입니다. 예를 들어, 회사에 30 명의 직원 { e 1 , e 2 ... e 30 }이 있고 각 직원이 다른 시간당 요율 { r로 다른 시간 수 { h 1 , h 2 ... h 30 }를 사용하는 경우 1 , r 2 ... r 30 }에서,이 직원들에게 그들의 일을 위해 지불 한 총 돈은 e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +입니다. e 30 * h 30 * r 30 . 수학자들은 이것을 ∑ i e i * h i * r i 로 간결하게 작성할 수 있습니다.
여러 차원을 포함하는 물리 시스템을 설명 할 때 물리학자는 종종 이중 합산을 사용해야합니다. 실제 과학 응용은 매우 복잡하지만 구체적인 예는 Kronecker 델타 함수가 이러한 경우에 표현을 단순화 할 수있는 방법을 보여줍니다.
쇼핑몰에는 3 개의 의류 매장이 있으며 각각 다른 브랜드를 판매합니다. 총 20 가지 스타일의 셔츠를 사용할 수 있습니다. 상점 1에서 8 개, 상점 2에서 7 개, 상점 3에서 5 개가 제공됩니다. 12 가지 스타일의 바지를 사용할 수 있습니다 : 상점 1에서 5 개, 상점 2에서 3 개, 상점 3에서 4 개. 셔츠에는 20 가지, 바지에는 12 가지가 있기 때문에 240 개의 복장을 구입할 수 있습니다. 각 조합은 다른 복장을 제공합니다.
셔츠와 바지가 다른 상점에서 나오는 의상을 선택하는 방법의 수를 계산하는 것은 간단하지 않습니다. 매장 1의 셔츠와 매장 2의 바지를 8 * 3 방식으로 선택할 수 있습니다. 상점 1에서 셔츠를 선택하고 상점 3에서 바지를 선택하는 8 * 4 방법이 있습니다. 이런 방식으로 계속해서 다른 상점의 기사를 사용하는 총 복장 수는 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7입니다. * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
셔츠와 바지의 가용성을 두 개의 시퀀스 { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} 및 { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4}로 고려할 수 있습니다. . 그런 다음 크로네 커 델타 함수를 사용하면이 합계를 간단히 ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j )로 쓸 수 있습니다. (1-δ i, j ) 용어는 같은 상점에서 구입 한 셔츠와 바지를 포함하는 의상을 제거합니다.이 경우 i = j 이므로 δ i, j = 1 및 (1- δ i, j ) = 0입니다. 항에 0을 곱하면 합계에서 항이 제거됩니다.
크로네 커 델타 함수는 다차원 공간을 분석 할 때 가장 많이 사용되지만 실수 라인과 같은 1 차원 공간을 연구 할 때도 사용할 수 있습니다. 이 경우 단일 입력 변형이 종종 사용됩니다. n = 0 인 경우 δ ( n ) = 1; 그렇지 않으면 δ ( n ) = 0입니다. Kronecker 델타 함수를 사용하여 실수에 대한 복잡한 수학적 표현을 단순화하는 방법을 보려면 입력이 분수로 단순화 된 다음 두 함수를 고려하십시오.
a = b +1이면 f (a / b) = a , b = a +1이면 f (a / b) = -b , 그렇지 않으면 f (a / b) = 0
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) – b * δ ( a - b +1)
함수 f 와 g 는 동일하지만 g에 대한 정의는 더 간결하고 영어가 필요하지 않으므로 전 세계의 모든 수학자가 이해할 수 있습니다.
이들 예에 의해 예시 된 바와 같이, 크로네 커 델타 함수의 입력은 전형적으로 일부 일련의 값에 연결된 정수이다. Dirac 델타 분포는 합산 시퀀스가 아닌 함수를 통합 할 때 사용되는 크로네 커 델타 함수의 연속 아날로그입니다.