Qu'est-ce que le Delta Kronecker?
La fonction delta de Kronecker, notée δ i, j , est une fonction binaire égale à 1 si i et j sont égales et égale à 0 sinon. Bien qu’il soit techniquement fonction de deux variables, il est en pratique utilisé comme raccourci de notation, ce qui permet d’écrire des énoncés mathématiques complexes de manière compacte. Les mathématiciens, les physiciens et les ingénieurs qui travaillent en algèbre linéaire, en analyse tensorielle et en traitement du signal numérique utilisent la fonction delta de Kronecker comme moyen opportun de transmettre dans une seule équation ce qui pourrait autrement prendre plusieurs lignes de texte.
Cette fonction est le plus souvent utilisée pour simplifier l'écriture d'équations impliquant la notation sigma, qui est elle-même une méthode concise pour faire référence à des sommes compliquées. Par exemple, si une entreprise compte 30 employés { e 1 , e 2 ... e 30 } et que chaque employé travaille un nombre d'heures différent { h 1 , h 2 ... h 30 } à un taux horaire différent { r 1 , r 2 ... r 30 }, le total des sommes versées à ces employés pour leur travail est égal à 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Les mathématiciens peuvent écrire ceci de manière concise: « i e i * h i * r i .
Lors de la description de systèmes physiques impliquant plusieurs dimensions, les physiciens doivent souvent utiliser des doubles sommations. Les applications scientifiques pratiques sont très complexes, mais un exemple concret montre comment la fonction delta de Kronecker peut simplifier les expressions dans ces cas.
Il y a trois magasins de vêtements dans un centre commercial, chacun vendant une marque différente. Un total de 20 styles de chemises sont disponibles: huit proposés par le magasin 1, sept par le magasin 2 et cinq proposés par le magasin 3. Douze styles de pantalons sont disponibles: cinq au magasin 1, trois au magasin 2 et quatre au magasin 3. On peut acheter 240 tenues possibles, car il existe 20 options pour la chemise et 12 options pour le pantalon. Chaque combinaison donne une tenue différente.
Il n’est pas aussi simple de calculer le nombre de façons de choisir une tenue dans laquelle la chemise et le pantalon proviennent de différents magasins. On peut sélectionner une chemise du magasin 1 et un pantalon du magasin 2 de 8 * 3 façons. Il existe 8 * 4 façons de sélectionner une chemise dans le magasin 1 et un pantalon dans le magasin 3. En continuant ainsi, on trouve le nombre total de tenues utilisant des articles provenant de magasins différents. 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
On pourrait considérer la disponibilité des chemises et des pantalons comme deux séquences, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} et { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Ensuite, la fonction delta de Kronecker permet d’écrire cette somme simplement: i j s i * p j * (1- δ i, j ). Le terme (1- δ i, j ) élimine les tenues comprenant une chemise et un pantalon achetés au même magasin car, dans ce cas, i = j , donc δ i, j = 1 et (1- δ i, j ) = 0. Multiplier le terme par 0 le supprime de la somme.
La fonction delta de Kronecker est le plus souvent utilisée lors de l'analyse d'espaces multidimensionnels, mais elle peut également être utilisée lors de l'étude d'espaces unidimensionnels, tels que la droite numérique. Dans ce cas, une variante à une seule entrée est souvent utilisée: δ ( n ) = 1 si n = 0; δ ( n ) = 0 sinon. Pour voir comment la fonction delta de Kronecker peut être utilisée pour simplifier des instructions mathématiques complexes sur les nombres réels, considérons les deux fonctions suivantes dont les entrées sont des fractions simplifiées:
f (a / b) = a si a = b +1, f (a / b) = -b si b = a +1 et f (a / b) = 0 sinon.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
Les fonctions f et g sont identiques, mais la définition de g est plus compacte et ne nécessite pas d’anglais, elle peut donc être comprise par tout mathématicien du monde.
Comme illustré par ces exemples, les entrées de la fonction delta de Kronecker sont généralement des entiers connectés à une séquence de valeurs. La distribution delac de Dirac est un analogue continu de la fonction delta de Kronecker utilisée lors de l’intégration de fonctions plutôt que de la sommation de séquences.