Qu'est-ce que le delta de Kronecker?

La fonction delta de Kronecker, indiquée Δ _{i, j , est une fonction binaire qui équivaut à 1 si i et j sont égales et égal à 0 autrement. Bien qu'il soit techniquement fonction de deux variables, en pratique, elle est utilisée comme sténographie notationnelle, permettant à l'écriture de déclarations mathématiques complexes d'être rédigées. Les mathématiciens, les physiciens et les ingénieurs qui travaillent dans l'algèbre linéaire, l'analyse du tenseur et le traitement du signal numérique utilisent la fonction de delta de Kronecker comme un expédient à transmettre dans une seule équation ce qui pourrait autrement prendre plusieurs lignes de texte.}

Cette fonction est le plus fréquemment employé pour simplifier l'écriture d'équations qui impliquent une notation Sigma, qui est elle-même une méthode concis de référence pour référencer les sommets. Par exemple, si une entreprise a 30 employés { e _{1 , e 2 ... e 30} }, et chaque employé travaille un nombre différent d'heures { h 1 , h _{2 ... H 30} }ourly rate { r _{1 , r 2 ... r 30} }, l'argent total payé à ces employés pour leur travail est égal à e _{1 * h 1 * r 1 + E 3 * h 3 * r 3 + ... e 30 * h 30 * r 30} . Les mathématiciens peuvent écrire cela de manière concise comme ∑ _{i e i * h i * r i} .

Lorsque décrivant les systèmes physiques qui impliquent de multiples dimensions, les physiciens doivent fréquemment utiliser les doubles résumés. Les applications scientifiques pratiques sont très complexes, mais un exemple concret montre comment la fonction delta de Kronecker peut simplifier les expressions dans ces cas.

Il y a trois magasins de vêtements dans un centre commercial, chacun vendant une marque différente. Un total de 20 styles de chemises sont disponibles: huit offerts par le magasin 1, sept offerts par le magasin 2 anD cinq offerts au magasin 3. Douze styles de pantalons sont disponibles: cinq au magasin 1, trois au magasin 2 et quatre au magasin 3. On peut acheter 240 tenues possibles, car il y a 20 options pour la chemise et 12 options pour le pantalon. Chaque combinaison donne une tenue différente.

Il n'est pas aussi simple de calculer le nombre de façons de sélectionner une tenue dans laquelle la chemise et le pantalon proviennent de différents magasins. On peut sélectionner une chemise dans le magasin 1 et un pantalon du magasin 2 sur 8 * 3 manières. Il y a 8 * 4 façons de sélectionner une chemise dans le magasin 1 et un pantalon dans le magasin 3. Continuant de cette manière, on trouve le nombre total de tenues utilisant des articles de différents magasins est de 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.

On pourrait considérer la disponibilité des chemises et des pantalons en tant que deux séquences, { s _{1 , s 2 , s 3} } = {8, 7, 5} et { p , p 2 , p _{3 . 3, 4}. Ensuite, la fonction de delta de Kronecker permet d'écrire cette somme comme simplement ∑ i ∑ j s i * p j * (1- Δ i, j ). Le terme (1- Δ i, j ) élimine ces tenues comprenant une chemise et un pantalon achetés dans le même magasin car dans ce cas i = j , donc Δ i, j = 1 et (1- δ i, j =) = 0. La multiplication du terme le supprime de la somme.}

La fonction delta de Kronecker est le plus souvent utilisée lors de l'analyse des espaces multidimensionnels, mais il peut également être utilisé lors de l'étude des espaces unidimensionnels, comme la ligne numérique réelle. Dans ce cas, une variante à entrée unique est souvent utilisée: Δ ( n ) = 1 si n = 0; Δ ( n ) = 0 sinon. Pour voir comment la fonction delta de Kronecker peut être utilisée pour simplifier les déclarations mathématiques complexes sur les nombres réels, on pourrait considérer les deux fonctions suivantes dont les entrées sont des fractions simplifiées:

f (a / b) = a si a = b +1, f (a / b) = -b si b = a +1, et f (a / b) = 0 sinon. g (a / b) = a * Δ ( a - b -1) - b * Δ ( a - b +1)

Les fonctions f et g sont identiques, mais la définition de g est plus compacte et ne nécessite aucun anglais, donc elle peut être comprise par n'importe quel mathématicien dans le monde.

Comme illustré par ces exemples, les entrées de la fonction delta de Kronecker sont généralement des entiers qui sont connectés à une certaine séquence de valeurs. La distribution de delta Dirac est un analogue continu de la fonction delta de Kronecker utilisée lors de l'intégration des fonctions plutôt que de résumer des séquences.