Wat is de Kronecker Delta?
De Kronecker -delta -functie, aangeduid als Δ i, j , is een binaire functie die gelijk is aan 1 als i en j gelijk zijn en zijn anders gelijk aan 0. Hoewel het technisch gezien een functie is van twee variabelen, wordt het in de praktijk gebruikt als notationele steno, waardoor gecompliceerde wiskundige uitspraken compact kunnen worden geschreven. Wiskundigen, natuurkundigen en ingenieurs die werken in lineaire algebra, tensor -analyse en digitale signaalverwerking gebruiken de Kronecker -delta -functie als een hulpmiddel om in een enkele vergelijking over te brengen wat anders verschillende regels tekst zou kunnen gebruiken. Als een bedrijf bijvoorbeeld 30 werknemers heeft { e 1 , e 2 ... e 30 }, en elke werknemer werkt een ander aantal uren { h 1 , h ... H ...ourly rate {r1, r2 ... r30}, the total money paid to these employees for their work equals e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + E 3 *H 3 *R 3 + ... E 30 *H 30 *R 30 . Wiskundigen kunnen dit beknopt schrijven als ∑ i e i *h i *r i .
Bij het beschrijven van fysieke systemen die meerdere dimensies betreffen, moeten fysici frequent dubbele summaties gebruiken. De praktische wetenschappelijke toepassingen zijn zeer complex, maar een concreet voorbeeld laat zien hoe de Kronecker -delta -functie in deze gevallen uitdrukkingen kan vereenvoudigen.
Er zijn drie kledingwinkels in een winkelcentrum, die elk een ander merk verkopen. Er zijn in totaal 20 stijlen van shirts beschikbaar: acht aangeboden door winkel 1, zeven aangeboden door Store 2 an anD Vijf aangeboden in de winkel 3. Twaalf Stijlen van Pants zijn beschikbaar: vijf in Store 1, Three in Store 2 en Four in Store 3. Men kan 240 mogelijke outfits kopen, omdat er 20 opties zijn voor het shirt en 12 opties voor de broek. Elke combinatie levert een andere outfit op.
Het is niet zo eenvoudig om het aantal manieren te berekenen om een outfit te selecteren waarin het shirt en de broek uit verschillende winkels komen. Men kan een shirt selecteren uit winkel 1 en broek uit winkel 2 op 8*3 manieren. Er zijn 8*4 manieren om een shirt uit winkel 1 en broek uit de winkel 3 te selecteren. Op deze manier doorgaan, vindt men het totale aantal outfits met artikelen uit verschillende winkels 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 = 199.
One could consider the availability of shirts and pants as two sequences, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} and {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Vervolgens kan de Kronecker Delta -functie deze som worden geschreven als eenvoudig ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). The (1- δi,j) term eliminates those outfits comprising a shirt and pants bought at the same store because in that case i = j, so δi,j = 1 and (1- δi,j) = 0. Multiplying De term door 0 verwijdert het uit de som.
De Kronecker-delta-functie wordt het meest gebruikt bij het analyseren van multidimensionale ruimtes, maar deze kan ook worden gebruikt bij het bestuderen van eendimensionale ruimtes, zoals de reële getallenlijn. In dat geval wordt vaak een enkele inputvariant gebruikt: Δ ( n ) = 1 als n = 0; δ ( n ) = 0 anders. Om te zien hoe de Kronecker Delta -functie kan worden gebruikt om complexe wiskundige uitspraken over de reële getallen te vereenvoudigen, zou men de volgende twee functies kunnen overwegen waarvan de ingangen vereenvoudigde breuken zijn:
f (a/b) = a als a = b +1, f (a/b) = -b if b = a +1 en = 0 anders.
g (a/b) = a *δ ( a - b -1)- b *Δ ( a - b +1)
De functies f en g zijn identiek, maar de definitie voor g is compacter en vereist geen Engels, dus het kan worden begrepen door een wiskundige ter wereld.
Zoals geïllustreerd door deze voorbeelden, zijn de ingangen van de Kronecker -delta -functie meestal gehele getallen die zijn verbonden met een reeks waarden. De Dirac Delta -verdeling is een continue analoog van de Kronecker -delta -functie die wordt gebruikt bij het integreren van functies in plaats van sequenties op te tellen.