Wat is de Kronecker-delta?
De Kronecker-deltafunctie, aangeduid met δ i, j , is een binaire functie die gelijk is aan 1 als i en j gelijk zijn en anders gelijk aan 0. Hoewel het technisch een functie is van twee variabelen, wordt het in de praktijk gebruikt als notationeel steno, waardoor gecompliceerde wiskundige uitspraken compact kunnen worden geschreven. Wiskundigen, natuurkundigen en ingenieurs die werken in lineaire algebra, tensoranalyse en digitale signaalverwerking gebruiken de Kronecker-deltafunctie als een hulpmiddel om in één vergelijking over te brengen wat anders mogelijk meerdere regels tekst zou bevatten.
Deze functie wordt meestal gebruikt om het schrijven van vergelijkingen met sigma-notatie te vereenvoudigen, wat zelf een beknopte methode is om naar gecompliceerde bedragen te verwijzen. Als een bedrijf bijvoorbeeld 30 werknemers heeft { e 1 , e 2 ... e 30 }, en elke werknemer een ander aantal uren { h 1 , h 2 ... h 30 } werkt met een ander uurtarief { r 1 , r 2 ... r 30 }, het totale geld dat aan deze werknemers is betaald voor hun werk is gelijk aan e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Wiskundigen kunnen dit kort samenvatten als ∑ i e i * h i * r i .
Bij het beschrijven van fysieke systemen met meerdere dimensies, moeten fysici vaak dubbele sommaties gebruiken. De praktische wetenschappelijke toepassingen zijn zeer complex, maar een concreet voorbeeld laat zien hoe de Kronecker delta-functie uitdrukkingen in deze gevallen kan vereenvoudigen.
Er zijn drie kledingwinkels in een winkelcentrum, die elk een ander merk verkopen. Er zijn in totaal 20 stijlen van shirts beschikbaar: acht aangeboden door winkel 1, zeven aangeboden door winkel 2 en vijf aangeboden in winkel 3. Twaalf stijlen van broeken zijn beschikbaar: vijf in winkel 1, drie in winkel 2 en vier in winkel 3. Men kan 240 mogelijke outfits kopen, omdat er 20 opties zijn voor het shirt en 12 opties voor de broek. Elke combinatie levert een andere outfit op.
Het is niet zo eenvoudig om het aantal manieren te berekenen om een outfit te selecteren waarin het shirt en de broek uit verschillende winkels komen. Men kan op 8 * 3 manieren een shirt uit winkel 1 en een broek uit winkel 2 selecteren. Er zijn 8 * 4 manieren om een shirt uit winkel 1 en een broek uit winkel 3 te selecteren. Als je op deze manier verdergaat, vind je het totale aantal outfits met artikelen uit verschillende winkels 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Men zou de beschikbaarheid van shirts en broeken kunnen beschouwen als twee reeksen, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} en { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Dan laat de Kronecker delta-functie toe dat deze som eenvoudig wordt geschreven als ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). De term (1- δ i, j ) elimineert die outfits bestaande uit een shirt en broek gekocht in dezelfde winkel omdat in dat geval i = j , dus δ i, j = 1 en (1- δ i, j ) = 0. Door de term met 0 te vermenigvuldigen, wordt deze uit de som verwijderd.
De Kronecker-deltafunctie wordt het meest gebruikt bij het analyseren van multidimensionale spaties, maar kan ook worden gebruikt bij het bestuderen van eendimensionale spaties, zoals de reële getallenlijn. In dat geval wordt vaak een variant met één ingang gebruikt: δ ( n ) = 1 als n = 0; 8 ( n ) = 0 anders. Om te zien hoe de Kronecker-deltafunctie kan worden gebruikt om complexe wiskundige verklaringen over de reële getallen te vereenvoudigen, zou men de volgende twee functies kunnen overwegen waarvan de invoer vereenvoudigde breuken zijn:
f (a / b) = a als a = b +1, f (a / b) = -b als b = a +1 en f (a / b) = 0 anders.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
De functies f en g zijn identiek, maar de definitie voor g is compacter en vereist geen Engels, dus het kan door elke wiskundige ter wereld worden begrepen.
Zoals geïllustreerd door deze voorbeelden, zijn de ingangen van de Kronecker-deltafunctie typisch gehele getallen die zijn verbonden met een reeks waarden. De Dirac-deltaverdeling is een continu analoog van de Kronecker-deltafunctie die wordt gebruikt bij het integreren van functies in plaats van het optellen van reeksen.