Was ist das Kronecker Delta?
Die mit δ i, j bezeichnete Kronecker-Delta-Funktion ist eine Binärfunktion, die gleich 1 ist, wenn i und j gleich sind, und ansonsten gleich 0 ist. Obwohl es technisch eine Funktion von zwei Variablen ist, wird es in der Praxis als Notationskürzel verwendet, wodurch komplizierte mathematische Aussagen kompakt geschrieben werden können. Mathematiker, Physiker und Ingenieure, die in der linearen Algebra, der Tensoranalyse und der digitalen Signalverarbeitung arbeiten, verwenden die Kronecker-Delta-Funktion als Hilfsmittel, um in einer einzigen Gleichung zu vermitteln, was ansonsten mehrere Textzeilen dauern könnte.
Diese Funktion wird am häufigsten verwendet, um das Schreiben von Gleichungen mit Sigma-Notation zu vereinfachen. Dies ist selbst eine prägnante Methode zur Bezugnahme auf komplizierte Summen. Wenn ein Unternehmen beispielsweise 30 Mitarbeiter hat { e 1 , e 2 ... e 30 } und jeder Mitarbeiter eine andere Anzahl von Stunden { h 1 , h 2 ... h 30 } mit einem anderen Stundensatz { r 1 , r 2 ... r 30 } entspricht das Gesamtgeld, das diesen Mitarbeitern für ihre Arbeit gezahlt wird, e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Mathematiker können dies prägnant schreiben als as i e i * h i * r i .
Bei der Beschreibung physikalischer Systeme mit mehreren Dimensionen müssen Physiker häufig doppelte Summierungen verwenden. Die praktischen wissenschaftlichen Anwendungen sind sehr komplex, aber ein konkretes Beispiel zeigt, wie die Kronecker-Delta-Funktion in diesen Fällen Ausdrücke vereinfachen kann.
In einem Einkaufszentrum gibt es drei Bekleidungsgeschäfte, die jeweils eine andere Marke verkaufen. Insgesamt stehen 20 verschiedene Hemden zur Verfügung: acht von Filiale 1, sieben von Filiale 2 und fünf von Filiale 3. Zwölf verschiedene Hosen: fünf von Filiale 1, drei von Filiale 2 und vier von Filiale 3. Man kann 240 mögliche Outfits kaufen, da es 20 Optionen für das Shirt und 12 Optionen für die Hose gibt. Jede Kombination ergibt ein anderes Outfit.
Es ist nicht so einfach, die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für ein Outfit zu berechnen, bei dem Hemd und Hose aus verschiedenen Geschäften stammen. Man kann ein Hemd aus Geschäft 1 und eine Hose aus Geschäft 2 auf 8 * 3 Arten auswählen. Es gibt 8 * 4 Möglichkeiten, ein Hemd aus Geschäft 1 und eine Hose aus Geschäft 3 auszuwählen. Auf diese Weise erhält man eine Gesamtzahl von 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 Outfits, wenn Artikel aus verschiedenen Geschäften verwendet werden * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Man könnte die Verfügbarkeit von Hemden und Hosen als zwei Folgen betrachten, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} und { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4}. . Dann ermöglicht die Kronecker-Delta-Funktion, dass diese Summe einfach als written i δ js i * p j * (1 - δ i, j ) geschrieben wird. Der Ausdruck (1- δ i, j ) eliminiert die Outfits, die aus einem Hemd und einer Hose bestehen, die im selben Geschäft gekauft wurden, weil in diesem Fall i = j , also δ i, j = 1 und (1- δ i, j ) = 0. Wenn Sie den Term mit 0 multiplizieren, wird er aus der Summe entfernt.
Die Kronecker-Delta-Funktion wird am häufigsten bei der Analyse mehrdimensionaler Räume verwendet, kann jedoch auch bei der Untersuchung eindimensionaler Räume wie der reellen Zahlenlinie verwendet werden. In diesem Fall wird häufig eine Variante mit einem Eingang verwendet: δ ( n ) = 1, wenn n = 0; δ ( n ) = 0 sonst. Um zu sehen, wie die Kronecker-Delta-Funktion verwendet werden kann, um komplexe mathematische Aussagen über die reellen Zahlen zu vereinfachen, können die folgenden zwei Funktionen betrachtet werden, deren Eingaben vereinfachte Brüche sind:
f (a / b) = a, wenn a = b + 1, f (a / b) = -b, wenn b = a + 1 und f (a / b) = 0, andernfalls.
g (a / b) = a * δ ( a - b - 1) - b * δ ( a - b + 1)
Die Funktionen f und g sind identisch, aber die Definition für g ist kompakter und erfordert kein Englisch, so dass es von jedem Mathematiker auf der Welt verstanden werden kann.
Wie diese Beispiele veranschaulichen, sind die Eingänge der Kronecker-Delta-Funktion typischerweise ganze Zahlen, die mit einer bestimmten Folge von Werten verbunden sind. Die Dirac-Delta-Verteilung ist ein kontinuierliches Analogon der Kronecker-Delta-Funktion, die bei der Integration von Funktionen anstelle von Summierungssequenzen verwendet wird.