Was ist das Kronecker -Delta?
Die Kroneecker -Delta -Funktion, bezeichnet Δ i, j , ist eine binäre Funktion, die 1 ist, wenn i und j gleich und gleich 0 gleich 0 sind. Obwohl es technisch gesehen eine Funktion von zwei Variablen ist, wird es in der Praxis als Notational Shortholity verwendet, sodass komplizierte mathematische Aussagen kompakt geschrieben werden können. Mathematiker, Physiker und Ingenieure, die in linearer Algebra, Tensoranalyse und digitaler Signalverarbeitung arbeiten, verwenden die Kronecker -Delta -Funktion als zweckmäßig, um in einer einzigen Gleichung zu vermitteln, was sonst mehrere Textlinien entgegennehmen könnte. Wenn beispielsweise ein Unternehmen 30 Mitarbeiter hat { e 1 , e 2 ... e 30 } und jeder Mitarbeiter arbeitet eine andere Anzahl von Stunden { h 1 , h 2 ... H 30 } bei einem unterschiedlichen H -Abstand.ourly rate {r1, r2 ... r30}, the total money paid to these employees for their work equals e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e 3 *H 3 *r 3 + ... e 30 *H 30 *r 30 . Mathematiker können dies genau als ∑ i i *h i *r i
bei der Beschreibung physischer Systeme, die mehrere Dimensionen beinhalten, häufig doppelte Bezeichnungen verwenden. Die praktischen wissenschaftlichen Anwendungen sind sehr komplex, aber ein konkretes Beispiel zeigt, wie die Kroneecker -Delta -Funktion die Ausdrücke in diesen Fällen vereinfachen kann.
Es gibt drei Bekleidungsgeschäfte in einem Einkaufszentrum, die jeweils eine andere Marke verkaufen. Insgesamt 20 Hemdstile sind erhältlich: acht angeboten im Laden 1, sieben von Store 2 An angebotenD Fünf angeboten im Geschäft 3. Zwölf Hosenstile sind erhältlich: Fünf in Store 1, drei in Store 2 und vier in Store 3. Man kann 240 mögliche Outfits kaufen, da es 20 Optionen für das Shirt und 12 Optionen für die Hosen gibt. Jede Kombination ergibt ein anderes Outfit.
Es ist nicht so einfach, die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl eines Outfits zu berechnen, in dem das Hemd und die Hose aus verschiedenen Geschäften stammen. Man kann ein Shirt aus Store 1 und Hosen aus Store 2 in 8*3 Ways auswählen. Es gibt 8*4 Möglichkeiten, ein Shirt aus Store 1 und Hosen aus Store 3. auszuwählen. Wenn Sie auf diese Weise fortgesetzt werden, ist die Gesamtzahl der Outfits mit Artikeln aus verschiedenen Speichern 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 = 199.
One could consider the availability of shirts and pants as two sequences, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} and {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Dann ermöglicht die Kroneecker -Delta -Funktion, dass diese Summe als einfach ∑ geschrieben werden kann i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). Der Begriff (1-δ i, j ) eliminiert die Outfits, die ein Hemd und eine Hose im selben Speicher haben, weil in diesem Fall i = J , also Δ i, j
Die Kroneecker-Delta-Funktion wird am häufigsten bei der Analyse mehrdimensionaler Räume verwendet, kann jedoch auch bei der Untersuchung von eindimensionalen Räumen wie der realen Zahlenlinie verwendet werden. In diesem Fall wird häufig eine einzelne Eingangsvariante verwendet: δ ( n ) = 1 if n = 0; δ ( n ) = 0 ansonsten. Um zu sehen, wie die Funktion der Kroneecker -Delta verwendet werden kann, um komplexe mathematische Aussagen zu den realen Zahlen zu vereinfachen, kann man die folgenden zwei Funktionen berücksichtigen, deren Eingaben vereinfacht sind:
f (a/b) = a if a = b +1, f (a/b) = -b if b = a +1 und f (a/b) = 0 sonst. g (a/b) = a *δ ( a - b -1)- b *δ ( a - b +1)
Die Funktionen f und g sind identisch, aber die Definition für g ist kompakter und erfordert kein Englisch, sodass sie von jedem Mathematiker in der Welt verstanden werden kann.
Wie anhand dieser Beispiele dargestellt, sind die Eingänge der Kroneecker -Delta -Funktion typischerweise Ganzzahlen, die mit einer Reihe von Werten verbunden sind. Die Dirac -Delta -Verteilung ist ein kontinuierliches Analogon der Kroneecker -Delta -Funktion, die bei der Integration von Funktionen verwendet wird, anstatt Sequenzen zu summieren.