Cos'è il Delta del Kronecker?
La funzione delta di Kronecker, indicata con δ i, j , è una funzione binaria che è uguale a 1 se iej sono uguali e uguale a 0 in caso contrario. Sebbene tecnicamente sia una funzione di due variabili, in pratica viene usato come stenografia notazionale, consentendo di scrivere in modo compatto complicate istruzioni matematiche. Matematici, fisici e ingegneri che lavorano in algebra lineare, analisi tensoriale ed elaborazione del segnale digitale usano la funzione delta di Kronecker come espediente per trasmettere in un'unica equazione ciò che altrimenti potrebbe richiedere diverse righe di testo.
Questa funzione viene più frequentemente utilizzata per semplificare la scrittura di equazioni che implicano la notazione sigma, che è essa stessa un metodo conciso di riferimento a somme complicate. Ad esempio, se un'azienda ha 30 dipendenti { e 1 , e 2 ... e 30 } e ogni dipendente lavora un numero diverso di ore { h 1 , h 2 ... h 30 } a una tariffa oraria diversa { r 1 , r 2 ... r 30 }, il denaro totale pagato a questi impiegati per il loro lavoro è uguale a 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . I matematici possono scrivere in modo conciso come ∑ i e i * h i * r i .
Nel descrivere i sistemi fisici che coinvolgono più dimensioni, i fisici spesso devono usare doppie sommazioni. Le applicazioni scientifiche pratiche sono molto complesse, ma un esempio concreto mostra come la funzione delta di Kronecker possa semplificare le espressioni in questi casi.
Ci sono tre negozi di abbigliamento in un centro commerciale, ognuno dei quali vende un marchio diverso. Sono disponibili un totale di 20 stili di camicie: otto offerti dal negozio 1, sette offerti dal negozio 2 e cinque offerti nel negozio 3. Sono disponibili dodici stili di pantaloni: cinque nel negozio 1, tre nel negozio 2 e quattro nel negozio 3. Si possono acquistare 240 possibili outfit, perché ci sono 20 opzioni per la camicia e 12 opzioni per i pantaloni. Ogni combinazione produce un abito diverso.
Non è così semplice calcolare il numero di modi per selezionare un abito in cui camicia e pantaloni provengono da diversi negozi. È possibile selezionare una maglietta dal negozio 1 e pantaloni dal negozio 2 in 8 * 3 modi. Ci sono 8 * 4 modi per selezionare una camicia dal negozio 1 e pantaloni dal negozio 3. Continuando in questo modo, si trova il numero totale di abiti che usano articoli di negozi diversi è 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Si potrebbe considerare la disponibilità di camicie e pantaloni come due sequenze, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} e { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Quindi la funzione delta di Kronecker consente di scrivere questa somma semplicemente come ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). Il termine (1- δ i, j ) elimina quegli abiti che comprendono una camicia e pantaloni acquistati nello stesso negozio perché in quel caso i = j , quindi δ i, j = 1 e (1- δ i, j ) = 0. Moltiplicare il termine per 0 lo rimuove dalla somma.
La funzione delta di Kronecker viene usata più frequentemente quando si analizzano spazi multidimensionali, ma può anche essere usata quando si studiano spazi unidimensionali, come la linea numerica reale. In tal caso, viene spesso utilizzata una variante a ingresso singolo: δ ( n ) = 1 se n = 0; δ ( n ) = 0 altrimenti. Per vedere come la funzione delta di Kronecker può essere usata per semplificare complesse dichiarazioni matematiche sui numeri reali, si potrebbero considerare le seguenti due funzioni i cui input sono frazioni semplificate:
f (a / b) = a se a = b +1, f (a / b) = -b se b = a +1 e f (a / b) = 0 altrimenti.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
Le funzioni feg sono identiche, ma la definizione di g è più compatta e non richiede inglese, quindi può essere compresa da qualsiasi matematico del mondo.
Come illustrato da questi esempi, gli input della funzione delta di Kronecker in genere sono numeri interi che sono collegati a una sequenza di valori. La distribuzione delta di Dirac è un analogo continuo della funzione delta di Kronecker utilizzata quando si integrano le funzioni piuttosto che sommare le sequenze.