Co to jest Delta Kronecker?
Funkcja delta Kroneckera, oznaczona δ i, j , jest funkcją binarną, która jest równa 1, jeśli i i j są równe, aw przeciwnym razie wynosi 0. Chociaż technicznie jest to funkcja dwóch zmiennych, w praktyce jest używana jako skrót notacyjny, umożliwiający pisanie skomplikowanych instrukcji matematycznych. Matematycy, fizycy i inżynierowie pracujący w algebrze liniowej, analizie tensorów i cyfrowym przetwarzaniu sygnałów używają funkcji delta Kroneckera jako sposobu na przekazanie w jednym równaniu, co w innym przypadku mogłoby zająć kilka linii tekstu.
Ta funkcja jest najczęściej stosowana w celu uproszczenia pisania równań, które obejmują notację sigma, która sama w sobie jest zwięzłą metodą odwoływania się do skomplikowanych sum. Na przykład, jeśli firma ma 30 pracowników { e 1 , e 2 ... e 30 }, a każdy pracownik pracuje inną liczbę godzin { h 1 , h 2 ... h 30 } według innej stawki godzinowej { r 1 , r 2 ... r 30 }, łączne pieniądze wypłacone tym pracownikom za ich pracę wynoszą e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Matematycy mogą to napisać zwięźle jako ∑ i e i * h i * r i .
Opisując układy fizyczne obejmujące wiele wymiarów, fizycy często muszą stosować podwójne sumowania. Praktyczne zastosowania naukowe są bardzo złożone, ale konkretny przykład pokazuje, jak funkcja delta Kroneckera może uprościć wyrażenia w tych przypadkach.
W centrum handlowym są trzy sklepy odzieżowe, z których każdy sprzedaje inną markę. Dostępnych jest w sumie 20 stylów koszulek: osiem w sklepie 1, siedem w sklepie 2 i pięć w sklepie 3. Dostępnych jest dwanaście stylów spodni: pięć w sklepie 1, trzy w sklepie 2 i cztery w sklepie 3. Można kupić 240 możliwych strojów, ponieważ istnieje 20 opcji na koszulę i 12 opcji na spodnie. Każda kombinacja daje inny strój.
Obliczenie liczby sposobów wyboru stroju, w którym koszula i spodnie pochodzą z różnych sklepów, nie jest tak proste. Można wybrać koszulę ze sklepu 1 i spodnie ze sklepu 2 na 8 * 3 sposoby. Istnieje 8 * 4 sposoby wybrania koszuli ze sklepu 1 i spodni ze sklepu 3. Kontynuując w ten sposób, można znaleźć łączną liczbę strojów przy użyciu artykułów z różnych sklepów to 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Dostępność koszulek i spodni można uznać za dwie sekwencje: { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} i { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Następnie funkcja delta Kroneckera pozwala zapisać tę sumę jako po prostu ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). Termin (1- δ i, j ) eliminuje te stroje zawierające koszulę i spodnie zakupione w tym samym sklepie, ponieważ w tym przypadku i = j , więc δ i, j = 1 i (1- δ i, j ) = 0. Pomnożenie terminu przez 0 usuwa go z sumy.
Funkcja delta Kroneckera jest najczęściej używana podczas analizy przestrzeni wielowymiarowych, ale może być również używana podczas badania przestrzeni jednowymiarowych, takich jak rzeczywista linia liczbowa. W takim przypadku często stosuje się wariant z jednym wejściem: δ ( n ) = 1, jeśli n = 0; δ ( n ) = 0 w przeciwnym razie. Aby zobaczyć, jak można użyć funkcji delta Kroneckera do uproszczenia złożonych instrukcji matematycznych o liczbach rzeczywistych, można rozważyć następujące dwie funkcje, których dane wejściowe są ułamkami uproszczonymi:
f (a / b) = a jeśli a = b +1, f (a / b) = -b jeśli b = a +1, a f (a / b) = 0 w przeciwnym razie.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
Funkcje f i g są identyczne, ale definicja g jest bardziej zwarta i nie wymaga angielskiego, więc może ją zrozumieć każdy matematyk na świecie.
Jak zilustrowano w tych przykładach, dane wejściowe funkcji delta Kroneckera zwykle są liczbami całkowitymi połączonymi z pewną sekwencją wartości. Rozkład delty Diraca jest ciągłym analogiem funkcji delta Kroneckera wykorzystywanej podczas całkowania funkcji zamiast sumowania sekwencji.