Co to jest delta Kronecker?

Funkcja delta Kroneckera, oznaczona Δ _{I, J} , jest funkcją binarną, która równa 1, jeśli i i j są równe i równa się 0 w przeciwnym razie. Chociaż technicznie jest funkcją dwóch zmiennych, w praktyce jest stosowany jako notacyjny skrót, co umożliwia kompliktowe zapisywanie skomplikowanych stwierdzeń matematycznych. Matematycy, fizycy i inżynierowie, którzy pracują w algebrze liniowej, analizie tensora i cyfrowym przetwarzaniu sygnału, używają funkcji delta Kroneckera jako celownika w jednym równaniu, co w innym przypadku mogło zająć kilka linii tekstu.

Ta funkcja jest najczęściej stosowana w celu uproszczenia pisania równań, które obejmują rejestrację Sigma, która sama może zająć się zwróconą metodą skomplikowaną sumą. Na przykład, jeśli firma ma 30 pracowników { e _{1 , E 2 ... E 30} }, a każdy pracownik działa inna liczba godzin { H ₁ 1 2 ... H 30 } w innej liczbie hourly rate {r₁, r₂ ... r₃₀}, the total money paid to these employees for their work equals e₁*h₁*r₁ + e₂*h₂*r₂ + E _{3 *H 3 *R 3 + ... E 30 *H 30 *R 30} . Matematycy mogą pisać to zwięźle jako ∑ _{i e I *H i *r I}

.

Podczas opisywania systemów fizycznych, które obejmują wiele wymiarów, fizycy często używają podwójnych podsumowań. Praktyczne zastosowania naukowe są bardzo złożone, ale konkretny przykład pokazuje, w jaki sposób funkcja delta Kroneckera może uprościć wyrażenia w takich przypadkach.

W centrum handlowym znajdują się trzy sklepy odzieżowe, z których każdy sprzedawał inną markę. Dostępnych jest 20 stylów koszul: osiem oferowanych przez sklep 1, siedem oferowanych przez sklep 2D Pięć oferowanych w sklepie 3. Dostępne jest dwanaście stylów spodni: pięć w sklepie 1, trzy w sklepie 2 i cztery w sklepie 3. Można kupić 240 możliwych strojów, ponieważ istnieje 20 opcji dla koszuli i 12 opcji dla spodni. Każda kombinacja daje inny strój.

Obliczenie liczby sposobów wyboru stroju i spodni pochodzą z różnych sklepów. Można wybrać koszulę ze sklepu 1 i spodni ze sklepu 2 na 8*3 sposoby. Istnieje 8*4 sposobów na wybranie koszuli ze sklepu 1 i spodnie ze sklepu 3. Kontynuując w ten sposób, znajduje się całkowita liczba strojów za pomocą artykułów z różnych sklepów to 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 = 199.

One could consider the availability of shirts and pants as two sequences, {s₁, s₂, s₃} = {8, 7, 5} and {p₁, p₂, p₃} = {5, 3, 4}. Następnie funkcja delta Kronecker pozwala na napisanie tej suma jako po prostu ∑ _{i ∑ j s} i * p

j * (1- Δ _{i, J} ). The (1- δ_i,j) term eliminates those outfits comprising a shirt and pants bought at the same store because in that case i = j, so δ_i,j = 1 and (1- δ_i,j) = 0. Mnożenie terminu przez 0 usuwa go z suma.

Funkcja delta Kroneckera jest najczęściej stosowana podczas analizy przestrzeni wielowymiarowych, ale można ją również stosować podczas badania jednowymiarowych przestrzeni, podobnie jak linia liczb rzeczywistej. W takim przypadku często stosuje się wariant jednoczesnego: δ ( n ) = 1, jeśli n = 0; δ ( n ) = 0 w przeciwnym razie. Aby zobaczyć, w jaki sposób funkcję delta Kroneckera można użyć do uproszczenia złożonych stwierdzeń matematycznych o liczbach rzeczywistych, można rozważyć następujące dwie funkcje, których wejście są uproszczonymi frakcjami:

f (a/b) = a Jeśli a = b +1, f (a/b) = -b Jeśli b = a +1 i f (a/b) = 0 ina.

g (a/b) = a *δ ( a - b -1)- b *δ ( a - b +1)

Funkcje f i g są identyczne, ale definicja g jest bardziej zwarta i nie wymaga języka angielskiego, więc może być zrozumiany przez dowolnego matematyka na świecie.

Jak ilustrują te przykłady, wejścia funkcji delta Kroneckera zwykle są liczbami całkowitych, które są połączone z pewną sekwencją wartości. Rozkład delta Dirac jest ciągłym analogiem funkcji delty Kronecker używanej podczas integracji funkcji, a nie sumowanie sekwencji.