Co je Delta Kronecker?

Funkce Delta Kronecker, označená A _{i, j} , je binární funkce, která se rovná 1, pokud i a j jsou stejné a rovná se 0 jinak. Ačkoli je to technicky funkcí dvou proměnných, v praxi se používá jako notační zkratka, což umožňuje kompaktní psát složitá matematická prohlášení. Matematici, fyzici a inženýři, kteří pracují v lineární algebře, analýze tenzorové a digitálního signálu používají funkci Delta Kronecker jako účelu, jak sdělit v jediné rovnici, která by jinak mohla trvat několik řádků textu. Například, pokud má společnost 30 zaměstnanců { e ₁ , E ₂ ... E ₃₀ } a každý zaměstnanec pracuje na jiném počtu hodin { h _{1 , H 2 ... H 30 } na jinémourly rate {r1, r2 ... r30}, the total money paid to these employees for their work equals e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + E 3 *H 3 *R 3 + ... E 30 *H 30 *R 30 . Matematici to mohou napsat stručně jako ∑ i e i *H i *r}

Při popisu fyzikálních systémů, které zahrnují více dimenzí, musí fyziky často používat dvojnásobné součet. Praktické vědecké aplikace jsou velmi složité, ale konkrétní příklad ukazuje, jak funkce Kronecker Delta může v těchto případech zjednodušit výrazy.

V obchoďáku jsou tři obchody s oblečením, z nichž každá prodává jinou značku. K dispozici je celkem 20 stylů košil: osm nabízených v obchodě 1, sedm nabízených obchodem 2D pět nabízených v obchodě 3. je k dispozici dvanáct stylů kalhot: pět v obchodě 1, tři v obchodě 2 a čtyři v obchodě 3. Jeden si může koupit 240 možných outfitů, protože existuje 20 možností pro košili a 12 možností pro kalhoty. Každá kombinace poskytuje jiný outfit.

Není tak jednoduché vypočítat počet způsobů, jak vybrat oblečení, ve kterém košile a kalhoty pocházejí z různých obchodů. Jeden si může vybrat tričko z obchodu 1 a kalhoty z obchodu 2 v 8*3 způsoby. Existuje 8*4 způsoby, jak vybrat košili z obchodu 1 a kalhoty z obchodu 3. Pokračování tímto způsobem, najde celkový počet oblečení pomocí článků z různých obchodů je 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 = 199.

Jeden by mohl považovat dostupnost košil a kalhot za dvě sekvence, { s ₁ , S ₂ , S ₃ } = {8, 7, 5} a { P ₁ , p ₃ }} {, P }} {5} {8, { { { 1 , p _{} {8, { 1} 3, 4}. Poté funkce Kroneckeru Delta umožňuje napsat tento součet jako jednoduše ∑ _i ∑ _j s _i * P _J * (1- Δ i, J ). Termín (1- Δ _{i, j} ) eliminuje ty oblečení obsahující košili a kalhoty zakoupené ve stejném obchodě, protože v tomto případě i = , J. Termín o 0 odstraní z součtu.

Funkce Delta Kronecker se nejčastěji používá při analýze vícerozměrných prostorů, ale lze ji také použít při studiu jednorozměrných prostorů, jako je reálná čísla. V takovém případě se často používá varianta s jednou vstupem: A ( n ) = 1, pokud n = 0; δ ( n ) = 0 jinak. Abychom viděli, jak lze funkci Delta Kronecker použít ke zjednodušení složitých matematických tvrzení o reálných číslech, lze zvážit následující dvě funkce, jejichž vstupy jsou zjednodušené zlomky:

f (a/b) = a pokud a = b +1, f (a/b) = -b pokud b a a f (a/b) = 0 jinak. g (a/b) = a *Δ ( a - b -1)- b *Δ ( a - b +1)

Funkce f a g jsou identické, ale definice pro g je kompaktnější a nevyžaduje žádnou angličtinu, takže ji může pochopit žádný matematik na světě.

Jak ilustruje tyto příklady, vstupy funkce Kronecker Delta jsou obvykle celá čísla, která jsou připojena k určité sekvenci hodnot. Distribuce Delta Dirac je nepřetržitým analogem funkce Kroneckerovy delta použité při integraci funkcí spíše než seskupení sekvencí.