Co je delta Kronecker?
Kroneckerova delta funkce označená δ i, j je binární funkce, která se rovná 1, pokud i a j jsou stejné a jinak 0. Ačkoli je to technicky funkcí dvou proměnných, v praxi se používá jako notační zkratka, což umožňuje kompaktní psaní složitých matematických příkazů. Matematici, fyzici a inženýři, kteří pracují v lineární algebře, tenzorové analýze a digitálním zpracování signálů, používají funkci Kroneckerovy delty jako účelné, aby v jediné rovnici zprostředkovali to, co by jinak mohlo trvat několik řádků textu.
Tato funkce se nejčastěji používá ke zjednodušení psaní rovnic, které zahrnují sigma notaci, což je samo o sobě stručná metoda odkazování na složité součty. Například pokud má společnost 30 zaměstnanců { e 1 , e 2 ... e 30 } a každý zaměstnanec pracuje s jiným počtem hodin { h 1 , h 2 ... h 30 } při různé hodinové sazbě { r 1 , r 2 ... r 30 }, celková částka vyplacená těmto zaměstnancům za jejich práci se rovná e 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Matematici to mohou psát stručně jako ∑ i e i * h i * r i .
Při popisu fyzických systémů, které zahrnují více dimenzí, musí fyzici často používat dvojité sumace. Praktické vědecké aplikace jsou velmi složité, ale konkrétní příklad ukazuje, jak funkce Kroneckerovy delty může v těchto případech výrazy zjednodušit.
V obchodě jsou tři obchody s oblečením, z nichž každá prodává jinou značku. K dispozici je celkem 20 stylů košil: osm nabízených v obchodě 1, sedm nabízených v obchodě 2 a pět nabízených v obchodě 3. K dispozici je dvanáct stylů kalhot: pět v obchodě 1, tři v obchodě 2 a čtyři v obchodě 3. Jeden může koupit 240 možných oblečení, protože tam je 20 možností pro košili a 12 možností pro kalhoty. Každá kombinace poskytuje jiný výstroj.
Není tak snadné spočítat počet způsobů, jak vybrat oblečení, ve kterém jsou košile a kalhoty z různých obchodů. Jeden může vybrat košili z obchodu 1 a kalhoty z obchodu 2 v 8 * 3 způsoby. Existuje 8 * 4 způsobů, jak vybrat tričko z obchodu 1 a kalhot z obchodu 3. Pokračování tímto způsobem zjistíme, že celkový počet oblečení pomocí článků z různých obchodů je 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Dostupnost košil a kalhot lze považovat za dvě sekvence, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} a { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Pak funkce Kroneckerova delta umožňuje napsat tuto částku jednoduše jako ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). Termín (1- δ i, j ) vylučuje oblečení, které zahrnuje košili a kalhoty zakoupené ve stejném obchodě, protože v tom případě i = j , takže δ i, j = 1 a (1- δ i, j ) = 0. Vynásobením termínu číslem 0 se odebere ze součtu.
Kroneckerova delta funkce se nejčastěji používá při analýze vícerozměrných prostorů, ale lze ji také použít při studiu jednorozměrných prostorů, jako je skutečná číselná čára. V takovém případě se často používá varianta s jedním vstupem: δ ( n ) = 1, pokud n = 0; 8 ( n ) = 0 jinak. Abychom viděli, jak lze Kroneckerovu delta funkci použít ke zjednodušení složitých matematických prohlášení o reálných číslech, můžeme zvážit následující dvě funkce, jejichž vstupy jsou zjednodušené zlomky:
f (a / b) = a, pokud a = b +1, f (a / b) = -b, pokud b = a +1, a f (a / b) = 0 jinak.
g (a / b) = a * δ ( a - b -1) - b * δ ( a - b +1)
Funkce fag jsou stejné, ale definice pro g je kompaktnější a nevyžaduje žádnou angličtinu, takže ji může pochopit kterýkoli matematik na světě.
Jak je ilustrováno těmito příklady, vstupy funkce Kroneckerovy delty jsou obvykle celá čísla, která jsou spojena s nějakou posloupností hodnot. Distribuce delta Diracu je spojitý analog funkce Kroneckerovy delty, která se používá při integraci funkcí spíše než sčítání sekvencí.