Vad är Kronecker Delta?
Kronecker delta-funktionen, betecknad 6 i, j , är en binär funktion som är lika med 1 om i och j är lika och lika med 0 annars. Även om det tekniskt är en funktion av två variabler, används det i praktiken som notativt kort, vilket gör att komplicerade matematiska uttalanden kan skrivas kompakt. Matematiker, fysiker och ingenjörer som arbetar inom linjär algebra, tensoranalys och digital signalbehandling använder Kronecker delta-funktionen som en anledning att förmedla i en enda ekvation vad som annars kan ta flera rader text.
Denna funktion används oftast för att förenkla skrivningen av ekvationer som involverar sigma-notation, som i sig är en kortfattad metod för att hänvisa till komplicerade summor. Till exempel, om ett företag har 30 anställda { e 1 , e 2 ... e 30 }, och varje anställd arbetar ett annat antal timmar { h 1 , h 2 ... h 30 } med en annan timpris { 1 , r 2 ... r 30 }, de totala pengarna som betalas till dessa anställda för deras arbete är lika med 1 * h 1 * r 1 + e 2 * h 2 * r 2 + e 3 * h 3 * r 3 +. .. e 30 * h 30 * r 30 . Matematiker kan skriva detta kortfattat som ∑ i e i * h i * r i .
När fysiska system beskrivs med flera dimensioner måste fysiker ofta använda dubbla summeringar. De praktiska vetenskapliga tillämpningarna är mycket komplexa, men ett konkret exempel visar hur Kronecker delta-funktionen kan förenkla uttryck i dessa fall.
Det finns tre klädaffärer i en köpcentrum som var och en säljer ett annat märke. Totalt finns 20 stilar av skjortor tillgängliga: åtta som erbjuds i butik 1, sju som erbjuds i butik 2 och fem som erbjuds i butik 3. Tolv stilar av byxor finns: fem i butik 1, tre i butik 2 och fyra i butik 3. Man kan köpa 240 möjliga kläder, för det finns 20 alternativ för tröjan och 12 alternativ för byxorna. Varje kombination ger en annan outfit.
Det är inte så enkelt att beräkna antalet sätt att välja en outfit där skjortan och byxorna är från olika butiker. Man kan välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 2 på 8 * 3 sätt. Det finns 8 * 4 sätt att välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 3. Om man fortsätter på detta sätt hittar man det totala antalet kläder med artiklar från olika butiker är 8 * 3 + 8 * 4 + 7 * 5 + 7 * 4 + 5 * 5 + 5 * 3 = 199.
Man kunde betrakta tillgängligheten för skjortor och byxor som två sekvenser, { s 1 , s 2 , s 3 } = {8, 7, 5} och { p 1 , p 2 , p 3 } = {5, 3, 4} . Sedan tillåter Kronecker delta-funktionen att denna summa skrivs som helt enkelt ∑ i ∑ j s i * p j * (1- δ i, j ). Termen (1- 5 i, j ) eliminerar de kläder som innefattar en skjorta och byxor köpta i samma butik eftersom i det fallet i = j , så δ i, j = 1 och (1- 6 i, j ) = 0. Att multiplicera termen med 0 tar bort det från summan.
Kronecker delta-funktionen används oftast när man analyserar multidimensionella utrymmen, men den kan också användas när man studerar endimensionella utrymmen, som den verkliga talraden. I så fall används ofta en enda ingångsvariant: δ ( n ) = 1 om n = 0; 5 ( n ) = 0 annars. För att se hur Kronecker delta-funktionen kan användas för att förenkla komplexa matematiska uttalanden om de verkliga siffrorna, kan man tänka på följande två funktioner vars ingångar är förenklade bråk:
f (a / b) = a om a = b +1, f (a / b) = -b om b = a +1, och f (a / b) = 0 annars.
g (a / b) = a * 5 ( a - b -1) - b * 5 ( a - b +1)
Funktionerna f och g är identiska, men definitionen för g är mer kompakt och kräver inget engelska, så det kan förstås av någon matematiker i världen.
Som illustreras av dessa exempel är ingångarna till Kronecker delta-funktionen heltal som är kopplade till någon sekvens av värden. Dirac delta-distributionen är en kontinuerlig analog av Kronecker delta-funktionen som används vid integrering av funktioner snarare än summering av sekvenser.