Vad är Kronecker Delta?

Kronecker delta -funktionen, betecknad Δ _{i, j} , är en binär funktion som är lika med 1 om i och j är lika och lika med 0 annars. Även om det tekniskt är en funktion av två variabler, används den i praktiken som notationell korthet, vilket gör att komplicerade matematiska uttalanden kan skrivas kompakt. Matematiker, fysiker och ingenjörer som arbetar i linjär algebra, tensoranalys och digital signalbehandling använder Kronecker -deltafunktionen som en lämplig att förmedla i en enda ekvation vad som annars kan ta flera rader med text.

Denna funktion är oftast för att förenkla skrivandet av ekvationer som involverar Sigma -notation, som är i sig en konk. For example, if a company has 30 employees {e₁, e₂ ... e₃₀}, and each employee works a different number of hours {h₁, h₂ ... h₃₀} at a different hourly rate {r₁, r₂ ... r₃₀}, the total money paid to these employees for their work equals e₁*h₁*r₁ + e₂*h₂*r₂ ! Matematiker kan skriva detta kortfattat som ∑ _i e _i *H _i *r i .

När man beskriver fysiska system som involverar flera dimensioner måste fysikister ofta använda dubbla sammanfattningar. De praktiska vetenskapliga tillämpningarna är mycket komplexa, men ett konkret exempel visar hur Kronecker delta -funktionen kan förenkla uttryck i dessa fall.

Det finns tre klädbutiker i ett köpcentrum, var och en säljer ett annat märke. Totalt är 20 stilar av skjortor tillgängliga: åtta som erbjuds av butik 1, sju som erbjuds av butik 2 anD Fem som erbjuds i butik 3. Tolv byxor finns tillgängliga: Fem i butik 1, tre i butik 2 och fyra i butik 3. Man kan köpa 240 möjliga kläder, eftersom det finns 20 alternativ för skjortan och 12 alternativ för byxorna. Varje kombination ger en annan outfit.

Det är inte så enkelt att beräkna antalet sätt att välja en outfit där skjortan och byxorna kommer från olika butiker. Man kan välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 2 på 8*3 sätt. Det finns 8*4 sätt att välja en skjorta från butik 1 och byxor från butik 3. Fortsätter på detta sätt hittar man det totala antalet kläder som använder artiklar från olika butiker är 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7*4 + 5*5 + 5*3 = 199.

man kan betrakta tillgängligheten för skjortor och byxor som två sekvenser, { s ₁ , s ₂ , s ₃ } = {8, 7, 5} och { p 1 , p 2 3, 4}. Då kan Kronecker Delta -funktionen skrivas som helt enkelt ∑ _i ∑ _j s _i * p _j * (1- Δ _{i, j} ). (1- Δ _{i, j} ) eliminerar de kläder som omfattar en skjorta och byxor som köpts i samma butik eftersom i så fall i = j , så Δ = 1 och (1- Δ <- <- <- <-> i, så δ _{Termen med 0 tar bort det från summan.}

Kronecker-deltafunktionen används oftast vid analys av flerdimensionella utrymmen, men den kan också användas när man studerar endimensionella utrymmen, som den verkliga antalet. I så fall används ofta en en-ingångsvariant: Δ ( n ) = 1 om n = 0; Δ ( n ) = 0 annars. För att se hur Kronecker Delta -funktionen kan användas för att förenkla komplexa matematiska uttalanden om de verkliga siffrorna kan man överväga följande två funktioner vars ingångar är förenklade fraktioner:

f (a/b) = a if a = b +1, f (a/b) = -b if b = a +1 och f (a/b) = 0 annars.
g (a/b) = a *Δ ( a - b -1)- b *Δ ( a - b +1)

Funktionerna f och g är identiska, men definitionen för g är mer kompakt och kräver ingen engelska, så den kan förstås av någon matematiker i världen.

Som illustreras av dessa exempel är ingångarna till Kronecker delta -funktionen vanligtvis heltal som är anslutna till någon sekvens av värden. DIRAC Delta Distribution är en kontinuerlig analog av Kronecker Delta -funktionen som används vid integrering av funktioner snarare än att summera sekvenser.