Wat is een Fourier-analyse?
Fourier-analyse is een wiskundige methode die wordt gebruikt om een periodieke functie op te splitsen en om te zetten - dat wil zeggen een wiskundige relatie tussen een hoeveelheid en een variabele of variabelen waarvan de relatieve waarden consequent gedurende een bepaalde periode worden herhaald - in een reeks eenvoudigere functies die dan worden samengevat en teruggezet in de oorspronkelijke vorm. De Franse natuurkundige en wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier, uitgevonden in de vroege 19e eeuw, transformeerde de partiële differentiatievergelijking die de voortplanting van warmte vertegenwoordigt in een reeks eenvoudiger trigonometrische golffuncties - dat wil zeggen sinus en cosinus - die kunnen worden gesuperponeerd om de oorspronkelijke functie te reconstrueren, waardoor een eenvoudigere, algemene oplossing voor het probleem wordt geboden.
Tegenwoordig wordt Fourier-analyse gebruikt om een breed scala aan natuurlijke en door de mens veroorzaakte processen en fenomenen te analyseren en beter te begrijpen. Het is toegepast op een breder scala van problemen in de fysische en natuurwetenschappen en in engineering, inclusief kwantummechanica, akoestiek, elektrotechniek, beeld- en signaalverwerking, neurologie, optica en oceanografie.
Een Fourier-analyse begint met een Fourier-transformatie, die een enkele, meer gecompliceerde periodieke golffunctie opsplitst of ontleedt in een reeks eenvoudiger elementen, een Fourier-reeks genaamd die de vorm aanneemt van sinus- en cosinusgolven of complexe exponentiële vergelijkingen. Deze kunnen vervolgens worden opgelost met behulp van eenvoudigere wiskunde en gesuperponeerd of opnieuw worden gecombineerd om een oplossing voor de oorspronkelijke functie te verkrijgen via een lineaire combinatie. De nauw gedefinieerde Fourier-analyse verwijst naar het proces waarbij de oorspronkelijke functie wordt ontbonden in een reeks eenvoudiger componenten. Meer in het algemeen kan het ook Fourier-synthese omvatten, het proces waarbij de oorspronkelijke functie wordt gereconstitueerd door een inverse transformatie uit te voeren die in wezen de Fourier-analyse omgekeerd uitvoert.
Verbeterd, uitgebreid en de kern van wat bekend is geworden als het gebied van harmonische analyse, is Fourier-analyse geëvolueerd en heeft het de studie van meer abstracte en algemene fenomenen omvat. Fourier-analyse wordt nu actief, regelmatig en op grote schaal gebruikt in econometrie en financiële markten door onderzoekers en praktijkmensen om de aard en het gedrag van een breed scala aan tijdreeksgegevens en parameters die niet- vertonen te voorspellen, te analyseren en beter te begrijpen. lineaire relaties en herhalende, golfachtige patronen in de loop van de tijd. Van de vele toepassingen is het gebruikt om economische cycli op lange termijn te modelleren, de relatie tussen inflatie en de vraag naar geld, en patronen en trends in de aandelen-, deviezen- en woningmarkten, en cycli in de halfgeleiderindustrie, zoals en om de efficiëntie van een nationale economie te meten.