Co to jest analiza Fouriera?
Analiza Fouriera jest matematyczną metodą stosowaną do rozkładania i przekształcania funkcji okresowej - tj. Matematycznej zależności między wielkością a zmienną lub zmiennymi, których wartości względne konsekwentnie powtarzają się przez pewien regularny okres czasu - w zbiór prostszych funkcji, które mogą następnie zostać zsumowane i przekształcone z powrotem w pierwotną formę. Wynaleziony na początku XIX wieku francuski fizyk i matematyk Jean Baptiste Joseph Fourier przekształcił równanie częściowego różnicowania reprezentujące propagację ciepła w szereg prostszych funkcji fal trygonometrycznych - tj. Sinusów i cosinusów - które można nałożyć na siebie, aby odtworzyć pierwotną funkcję, zapewniając w ten sposób prostsze, ogólne rozwiązanie problemu.
Dzisiaj analiza Fouriera służy do analizy i lepszego zrozumienia szerokiej gamy naturalnych i wytworzonych przez człowieka procesów i zjawisk. Został on zastosowany do szerokiej gamy problemów w naukach fizycznych i przyrodniczych oraz w inżynierii, w tym mechaniki kwantowej, akustyki, elektrotechniki, przetwarzania obrazu i sygnału, neurologii, optyki i oceanografii.
Analiza Fouriera rozpoczyna się transformacją Fouriera, która rozkłada lub rozkłada pojedynczą, bardziej skomplikowaną funkcję fali okresowej na zestaw prostszych elementów zwanych serią Fouriera, która przyjmuje postać fal sinusoidalnych i cosinusowych lub złożonych równań wykładniczych. Można je następnie rozwiązać za pomocą prostszej matematyki i nałożyć na siebie lub zrekombinować, aby uzyskać rozwiązanie oryginalnej funkcji za pomocą kombinacji liniowej. Wąsko zdefiniowana analiza Fouriera odnosi się do procesu rozkładania oryginalnej funkcji na szereg prostszych składników. Mówiąc bardziej ogólnie, może również obejmować syntezę Fouriera, proces, w którym pierwotna funkcja jest odtwarzana przez wykonanie odwrotnej transformacji, która zasadniczo uruchamia analizę Fouriera w odwrotnej kolejności.
Ulepszona, rozszerzona i stanowiąca rdzeń tego, co stało się znane jako dziedzina analizy harmonicznej, analiza Fouriera ewoluowała i rozwijała się, obejmując badanie bardziej abstrakcyjnych i ogólnych zjawisk. Analiza Fouriera jest obecnie aktywnie, regularnie i szeroko stosowana w ekonometrii i teorii rynków finansowych przez naukowców i praktyków do prognozowania, a także analizowania i lepszego zrozumienia charakteru i zachowania szerokiej gamy danych szeregów czasowych i parametrów, które wykazują inne niż relacje liniowe i powtarzające się, falowe wzory w czasie. Spośród wielu jego zastosowań został wykorzystany do modelowania długoterminowych cykli gospodarczych, relacji między inflacją a popytem na pieniądze, a także wzorców i trendów na rynku akcji, walut obcych i rynków mieszkaniowych oraz cykli w branży półprzewodników, takich jak a także do mierzenia wydajności gospodarki krajowej.