Wat is een posterieure waarschijnlijkheid?

De posterior waarschijnlijkheid meet de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis zal plaatsvinden gezien het feit dat een gerelateerde gebeurtenis al heeft plaatsgevonden. Het is een wijziging van de oorspronkelijke waarschijnlijkheid of de waarschijnlijkheid zonder verdere informatie, die eerdere waarschijnlijkheid wordt genoemd. De posterior waarschijnlijkheid wordt berekend met behulp van de stelling van Bayes. Financiële modellering van aandelenportefeuilles is een veel voorkomende toepassing van posterior probability in finance. Het is soms moeilijk om waarschijnlijkheden nauwkeurig toe te wijzen aan gebeurtenissen, waardoor het nut van de posterieure waarschijnlijkheid wordt beperkt.

Om de posterior waarschijnlijkheid te berekenen, kan de voorwaardelijke waarschijnlijkheid van twee afhankelijke gebeurtenissen worden onderzocht. Laat A de doelgebeurtenis zijn, dan is P (A) de a priori waarschijnlijkheid. Laat B een tweede gebeurtenis zijn die afhankelijk is, of gerelateerd is aan de gebeurtenis A, met waarschijnlijkheid P (B). Laat bovendien de waarschijnlijkheid dat gebeurtenis B optreedt, gegeven dat A voorkomt, P (B | A) zijn.

Met behulp van de stelling van Bayes kan de posterieure waarschijnlijkheid P (A | B) worden berekend. De theorie stelt: P (A | B) = ^{P (B | A) * P (A)} ⁄ _{P (B)} . Merk op dat als gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, hun gezamenlijke waarschijnlijkheid P (A | B) = P (A) is. Dit betekent dat hun posterieure en eerdere waarschijnlijkheden identiek zijn, omdat gebeurtenis B geen effect heeft op gebeurtenis A.

Een voorbeeld uit de financiering is om te berekenen of een aandelenkoers zal stijgen, gezien het feit dat de rente is gestegen. Laat A het geval zijn dat aandelenkoersen stijgen, en de kans dat aandelen zullen stijgen is 50% of P (A) = 0,50. Laat B het geval zijn dat de rentetarieven stijgen en de kans dat de aandelen stijgen 75% of P (B) = 0,75 is. Tot slot, laat de kans dat de rente zal stijgen gezien de aandelenkoersen 20% of P (B | A) = 0,20 stijgen.

De waarschijnlijkheid dat aandelenkoersen zullen stijgen gezien het feit dat de rentetarieven stijgen, kan worden bepaald door deze waarden in de stelling van Bayes te stoppen. Het geeft P (A | B) = ^{0,20 * 0,50} ⁄ _0,75 = 0,13 of 13%. Dit betekent dat als de rente stijgt, aandelenkoersen een kans van 13% hebben om ook te stijgen, niet bepaald een veilige gok.

Financiële analisten gebruiken posterieure waarschijnlijkheid om de onderlinge relaties van veel verschillende soorten gebeurtenissen te analyseren. Wisselkoersen, veranderingen in het economisch beleid en consumptiegewoonten van consumenten zijn allemaal voorbeelden van gebeurtenissen die van invloed kunnen zijn op aandelenkoersen. Het is heel moeilijk om de waarschijnlijkheden te kwantificeren dat deze gebeurtenissen zullen plaatsvinden. Ook het definiëren van de impact die een evenement zal hebben op een aandelenprijs kan ook een hele uitdaging zijn.