Wat is een even functie?
Een even functie wordt gedefinieerd als elke functie waarin de instructie f (x) = f (-x) geldt voor alle reële waarden van x. Evenzo is een even functie elke functie die is gedefinieerd voor alle reële waarden van x en reflexieve symmetrie rond de y-as heeft. Vreemdheid of gelijkmatigheid van functies is vooral nuttig in grafische functies.
Een functie is een relatie die de elementen uit één reeks getallen - het domein, aan de elementen van een andere reeks - het bereik relateert. De relatie wordt meestal gedefinieerd in termen van een wiskundige vergelijking, waarbij als een nummer uit het domein in de vergelijking wordt ingevoegd, een enkele waarde uit het bereik als antwoord wordt gegeven. Als voorbeeld, voor de functie f (x) = 3x 2 + 1, wanneer x = 2 de waarde is die is geselecteerd uit het domein, f (x) = f (2) = 13. Als het domein en het bereik beide afkomstig zijn van de reeks reële getallen, dan kan de functie worden uitgezet door elk punt (x, f (x)) te plotten, waarbij de x-coördinaat uit het domein van de functie komt en de y-coördinaat de overeenkomende waarde is uit het bereik van de functie.
Gerelateerd aan het concept van de even-functie is de oneven-functie. Een oneven functie is een functie waarin de instructie f (x) = -f (-x) voor alle reële waarden van x. Wanneer ze grafisch worden weergegeven, hebben oneven functies rotatiesymmetrie rond de oorsprong.
Hoewel de meeste functies even of oneven zijn, bestaat er nog steeds een oneindig aantal even functies. De constante functie, f (x) = c, waarbij de functie slechts één waarde heeft, ongeacht welke waarde uit het domein is geselecteerd, is een even functie. De power-functies, f (x) = x n, zijn zelfs zolang n een even geheel getal is. Onder de trigonometrische functies zijn cosinus en secant beide even functies, evenals de bijbehorende hyperbolische functies f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 en f (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x).
Nieuwe even functies kunnen worden gemaakt op basis van andere functies waarvan bekend is dat ze even functies zijn. Door twee even-functies toe te voegen of te vermenigvuldigen, wordt een nieuwe even-functie gecreëerd. Als een even-functie wordt vermenigvuldigd met een constante, is de resulterende functie even. Even functies kunnen ook worden gemaakt van oneven functies. Als twee functies waarvan bekend is dat ze oneven zijn, zoals f (x) = x en g (x) = sin (x), samen worden vermenigvuldigd, is de resulterende functie, zoals h (x) = x sin (x) even .
Nieuwe even functies kunnen ook worden gemaakt door compositie. Een compositiefunctie, zoals h (x) = g (f (x)), is een functie waarbij de uitvoer van één functie - in dit geval f (x) - wordt gebruikt als de invoer voor de tweede functie - g (x ). Als de binnenste functie even is, is de resulterende functie ook even, ongeacht of de externe functie even, oneven of geen van beide is. De exponentiële functie g (x) = e x is bijvoorbeeld noch oneven noch even, maar omdat cosinus een even functie is, is de nieuwe functie h (x) = e cos (x) dat ook.
Eén wiskundig resultaat houdt in dat elke functie die is gedefinieerd voor alle reële getallen kan worden uitgedrukt als de som van een even en een oneven functie. Als f (x) een functie is die is gedefinieerd voor alle reële getallen, is het mogelijk om twee nieuwe functies te construeren, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 en h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Hieruit volgt dat g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) en daarom is g (x) een gelijkmatige functie. Evenzo is h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) dus h (x) is per definitie een vreemde functie. Als de functies bij elkaar worden opgeteld, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Daarom is elke functie f (x) de som van een even en een oneven functie.