O que é uma função par?

Uma função par é definida como qualquer função na qual a instrução f (x) = f (-x) é verdadeira para todos os valores reais de x. Equivalentemente, uma função par é qualquer função que é definida para todos os valores reais de x e tem simetria reflexiva sobre o eixo y. A estranheza ou uniformidade das funções é principalmente usada em funções gráficas.

Uma função é um relacionamento que relaciona os elementos de um conjunto de números - o domínio, aos elementos de outro conjunto - o intervalo. A relação é geralmente definida em termos de uma equação matemática, onde, se um número do domínio for inserido na equação, um único valor dentro do intervalo será fornecido como resposta. Como exemplo, para a função f (x) = 3x ² + 1, quando x = 2 é o valor selecionado no domínio, f (x) = f (2) = 13. Se o domínio e o intervalo forem de o conjunto de números reais, a função pode ser representada graficamente plotando cada ponto (x, f (x)), onde a coordenada x é do domínio da função e a coordenada y é o valor correspondente do intervalo de a função.

Relacionada ao conceito da função par está a função ímpar. Uma função ímpar é aquela em que a instrução f (x) = -f (-x) para todos os valores reais de x. Quando eles são representados graficamente, funções ímpares têm simetria rotacional em torno da origem.

Embora a maioria das funções não seja ímpar nem par, ainda existe um número infinito de funções pares. A função constante, f (x) = c, na qual a função possui apenas um valor, independentemente do valor selecionado do domínio, é uma função par. As funções de potência, f (x) = ^x n, são iguais desde que n seja um número inteiro par. Entre as funções trigonométricas, cosseno e secante são funções pares, assim como as funções hiperbólicas correspondentes f (x) = cosh (x) = ( ^e x + ^e- x) / 2 ef (x) = sech (x) = 2 / ( ^e x + ^e -x).

Novas funções pares podem ser criadas a partir de outras funções conhecidas como funções pares. Adicionar ou multiplicar quaisquer duas funções pares criará uma nova função par. Se uma função par for multiplicada por uma constante, a função resultante será par. Funções pares também podem ser criadas a partir de funções ímpares. Se duas funções conhecidas como ímpares, como f (x) = x e g (x) = sin (x), forem multiplicadas juntas, a função resultante, como h (x) = x sin (x), será uniforme .

Novas funções pares também podem ser criadas por composição. Uma função de composição, como h (x) = g (f (x)), é aquela em que a saída de uma função - nesse caso f (x) - é usada como entrada para a segunda função - g (x ) Se a função mais interna for par, a função resultante também será par, independentemente de a função externa ser par, ímpar ou nenhuma. A função exponencial g (x) = ^e x, por exemplo, não é ímpar nem par, mas como o cosseno é uma função par, a nova função também é h (x) = ^e cos (x).

Um resultado matemático sustenta que toda função definida para todos os números reais pode ser expressa como a soma de uma função par e uma função ímpar. Se f (x) é qualquer função definida para todos os números reais, é possível construir duas novas funções, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 eh (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Segue que g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) e, portanto, g (x) é uma função par. Da mesma forma, h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x), então h (x) é por definição, uma função ímpar. Se as funções forem somadas, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Portanto, toda função f (x) é a soma de uma função par e uma função ímpar.