Was ist eine gerade Funktion?
Eine gerade Funktion ist definiert als jede Funktion, in der die Aussage f (x) = f (-x) für alle reellen Werte von x gilt. Entsprechend ist eine gerade Funktion jede Funktion, die für alle reellen Werte von x definiert ist und eine Reflexionssymmetrie um die y-Achse aufweist. Die Seltsamkeit oder Gleichmäßigkeit von Funktionen ist hauptsächlich bei Grafikfunktionen von Nutzen.
Eine Funktion ist eine Beziehung, die die Elemente einer Gruppe von Zahlen - die Domäne - mit den Elementen einer anderen Gruppe - dem Bereich - in Beziehung setzt. Die Beziehung wird im Allgemeinen in Form einer mathematischen Gleichung definiert, wobei, wenn eine Zahl aus dem Bereich in die Gleichung eingefügt wird, ein einzelner Wert aus dem Bereich als Antwort gegeben wird. Wenn zum Beispiel für die Funktion f (x) = 3x 2 + 1 x = 2 der aus der Domäne ausgewählte Wert ist, ist f (x) = f (2) = 13. Wenn die Domäne und der Bereich beide aus sind Die Menge der reellen Zahlen, dann kann die Funktion grafisch dargestellt werden, indem jeder Punkt (x, f (x)) aufgetragen wird, wobei die x-Koordinate aus der Domäne der Funktion stammt und die y-Koordinate der übereinstimmende Wert aus dem Bereich von ist die Funktion.
Bezogen auf das Konzept der geraden Funktion ist die ungerade Funktion. Eine ungerade Funktion ist eine, bei der die Anweisung f (x) = -f (-x) für alle reellen Werte von x gilt. Wenn sie grafisch dargestellt werden, haben ungerade Funktionen eine Rotationssymmetrie um den Ursprung.
Obwohl die meisten Funktionen weder gerade noch ungerade sind, gibt es immer noch unendlich viele gerade Funktionen. Die konstante Funktion f (x) = c, in der die Funktion nur einen Wert hat, unabhängig davon, welcher Wert aus der Domäne ausgewählt wird, ist eine gerade Funktion. Die Potenzfunktionen f (x) = x n sind gerade, solange n eine gerade ganze Zahl ist. Unter den trigonometrischen Funktionen sind Cosinus und Sekante beide gerade Funktionen, ebenso wie die entsprechenden hyperbolischen Funktionen f (x) = cosh (x) = (ex + e- x) / 2 und f (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e- x).
Neue gerade Funktionen können aus anderen Funktionen erstellt werden, von denen bekannt ist, dass sie gerade Funktionen sind. Durch Hinzufügen oder Multiplizieren von zwei geraden Funktionen wird eine neue gerade Funktion erstellt. Wenn eine gerade Funktion mit einer Konstanten multipliziert wird, ist die resultierende Funktion gerade. Gerade Funktionen können auch aus ungeraden Funktionen erstellt werden. Wenn zwei als ungerade bekannte Funktionen wie f (x) = x und g (x) = sin (x) miteinander multipliziert werden, ist die resultierende Funktion wie h (x) = x sin (x) gerade .
Neue gerade Funktionen können auch durch Komposition erstellt werden. Eine Kompositionsfunktion wie h (x) = g (f (x)) ist eine Funktion, bei der die Ausgabe einer Funktion - in diesem Fall f (x) - als Eingabe für die zweite Funktion - g (x - verwendet wird ). Wenn die innerste Funktion gerade ist, ist die resultierende Funktion auch gerade, unabhängig davon, ob die äußere Funktion gerade, ungerade oder keine ist. Die Exponentialfunktion g (x) = e x ist zum Beispiel weder ungerade noch gerade, aber weil Cosinus eine gerade Funktion ist, ist die neue Funktion h (x) = e cos (x) auch so.
Ein mathematisches Ergebnis besagt, dass jede für alle reellen Zahlen definierte Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion ausgedrückt werden kann. Wenn f (x) irgendeine Funktion ist, die für alle reellen Zahlen definiert ist, ist es möglich, zwei neue Funktionen zu konstruieren, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 und h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Daraus folgt, dass g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) und daher g (x) ist eine gerade Funktion. Ebenso ist h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x), so dass h (x) ist per definitionem eine ungerade Funktion. Wenn die Funktionen addiert werden, ist g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Daher ist jede Funktion f (x) die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion.