Co je sudá funkce?
Rovnoměrná funkce je definována jako jakákoli funkce, ve které příkaz f (x) = f (-x) platí pro všechny skutečné hodnoty x. Rovnoměrně je sudá funkce jakákoli funkce, která je definována pro všechny skutečné hodnoty x a má reflexní symetrii kolem osy y. Zvláštnost nebo rovnoměrnost funkcí se primárně používá v grafických funkcích.
Funkce je vztah, který spojuje prvky z jedné sady čísel - doména, s prvky jiné sady - rozsahem. Vztah je obecně definován pomocí matematické rovnice, kde je-li do rovnice vloženo číslo z domény, je jako odpověď uvedena jediná hodnota z rozsahu. Například pro funkci f (x) = 3x 2 + 1, když x = 2 je hodnota vybraná z domény, f (x) = f (2) = 13. Pokud je doména i rozsah od množina reálných čísel, pak lze funkci graficky znázornit vykreslením každého bodu (x, f (x)), kde souřadnice x je z domény funkce a souřadnice y je odpovídající hodnota z rozsahu funkce.
S konceptem sudé funkce je spojena lichá funkce. Zvláštní funkce je taková, ve které příkaz f (x) = -f (-x) pro všechny skutečné hodnoty x. Když jsou grafy zobrazeny, mají liché funkce rotační symetrii kolem počátku.
Ačkoli většina funkcí není ani lichá, ani sudá, stále existuje nekonečný počet sudých funkcí. Konstantní funkce f (x) = c, ve které funkce má pouze jednu hodnotu bez ohledu na to, která hodnota z domény je vybrána, je sudá funkce. Výkonové funkce, f (x) = x n, jsou dokonce tak dlouhé, dokud n je libovolné celé číslo. Mezi trigonometrické funkce jsou kosinus a secant sudé funkce, stejně jako odpovídající hyperbolické funkce f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 af (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x).
Nové sudé funkce mohou být vytvořeny z jiných funkcí, které jsou známé jako sudé funkce. Přidáním nebo vynásobením libovolných dvou sudých funkcí vytvoříte novou sudou funkci. Pokud je sudá funkce vynásobena konstantou, výsledná funkce bude sudá. Rovněž funkce lze také vytvářet z lichých funkcí. Pokud jsou dvě funkce známé jako liché, jako f (x) = x ag (x) = sin (x), násobeny dohromady, bude výsledná funkce, jako h (x) = x sin (x), sudá .
Nové sudé funkce lze také vytvořit kompozicí. Kompoziční funkce, jako je h (x) = g (f (x)), je taková, ve které je výstup jedné funkce - v tomto případě f (x) - použit jako vstup pro druhou funkci - g (x) ). Pokud je nejvnitřnější funkce sudá, výsledná funkce bude stejná i bez ohledu na to, zda je vnější funkce sudá, lichá nebo žádná. Například exponenciální funkce g (x) = e x není lichá ani sudá, ale protože kosinus je sudá funkce, tak je nová funkce h (x) = e cos (x).
Jeden matematický výsledek platí, že každá funkce definovaná pro všechna reálná čísla může být vyjádřena jako součet sudé a liché funkce. Jestliže f (x) je jakákoli funkce definovaná pro všechna reálná čísla, je možné zkonstruovat dvě nové funkce, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 a h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Z toho vyplývá, že g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x), a proto g (x) je rovnoměrná funkce. Podobně h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x), takže h (x) je podle definice lichá funkce. Pokud se funkce sčítají, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Proto je každá funkce f (x) součtem sudé a liché funkce.