Hva er en jevn funksjon?
En jevn funksjon er definert som enhver funksjon der utsagnet f (x) = f (-x) stemmer for alle reelle verdier av x. Tilsvarende er en jevn funksjon en hvilken som helst funksjon som er definert for alle reelle verdier av x og har refleksiv symmetri om y-aksen. Oddness eller jevnhet av funksjoner er først og fremst til bruk i graffunksjoner.
En funksjon er et forhold som knytter elementene fra ett sett med tall - domenet, til elementene i et annet sett - området. Forholdet er generelt definert i form av en matematisk ligning, der hvis et tall fra domenet settes inn i ligningen, blir en enkelt verdi innen området gitt som svaret. For eksempel, for funksjonen f (x) = 3x 2 + 1, når x = 2 er verdien valgt fra domenet, vil f (x) = f (2) = 13. Hvis domenet og området begge er fra settet med reelle tall, så kan funksjonen graferes ved å plotte hvert punkt (x, f (x)), der x-koordinaten er fra funksjonens domene og y-koordinaten er samsvarende verdi fra området til funksjonen.
Relatert til konseptet med jevn funksjon er den rare funksjonen. En merkelig funksjon er en der setningen f (x) = -f (-x) for alle reelle verdier av x. Når de er tegnet, har rare funksjoner rotasjonssymmetri rundt opprinnelsen.
Selv om flertallet av funksjonene verken er rare eller jevne, eksisterer det fortsatt et uendelig antall jevne funksjoner. Den konstante funksjonen, f (x) = c, der funksjonen bare har en verdi uansett hvilken verdi fra domenet som er valgt, er en jevn funksjon. Kraftfunksjonene, f (x) = x n, er til og med så lenge n er et hvilket som helst jevnt heltal. Blant de trigonometriske funksjonene er cosinus og sekant begge jevne funksjoner, og de tilsvarende hyperboliske funksjonene f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 og f (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x).
Nye jevnfunksjoner kan opprettes fra andre funksjoner som er kjent for å være jevne funksjoner. Hvis du legger til eller multipliserer alle to jevne funksjoner, vil du opprette en ny jevn funksjon. Hvis en jevn funksjon multipliseres med en konstant, vil den resulterende funksjonen være jevn. Til og med funksjoner kan også opprettes fra rare funksjoner. Hvis to funksjoner som er kjent for å være rare, som f (x) = x og g (x) = sin (x), multipliseres sammen, vil den resulterende funksjonen, for eksempel h (x) = x sin (x), være jevn .
Nye jevnfunksjoner kan også opprettes av komposisjon. En komposisjonsfunksjon, for eksempel h (x) = g (f (x)), er en der utgangen fra en funksjon - i dette tilfellet f (x) - brukes som inngang for den andre funksjonen - g (x ). Hvis den innerste funksjonen er jevn, vil den resulterende funksjonen også være jevn uavhengig av om den ytre funksjonen er jevn, merkelig eller ingen av dem. Eksponentiell funksjon g (x) = e x, for eksempel, er verken merkelig eller jevn, men fordi cosinus er en jevn funksjon, er også den nye funksjonen h (x) = e cos (x).
Et matematisk resultat hevder at hver funksjon som er definert for alle reelle tall kan uttrykkes som summen av en jevn og en odde funksjon. Hvis f (x) er en funksjon definert for alle reelle tall, er det mulig å konstruere to nye funksjoner, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 og h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Det følger at g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) og derfor er g (x) en jevn funksjon. På samme måte er h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) så h (x) er per definisjon en merkelig funksjon. Hvis funksjonene legges sammen, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Derfor er hver funksjon f (x) summen av en jevn og en odde funksjon.