Hva er en jevn funksjon?
En jevn funksjon er definert som enhver funksjon der uttalelsen f (x) = f (-x) stemmer for alle virkelige verdier av x. Tilsvarende er en jevn funksjon enhver funksjon som er definert for alle reelle verdier av X og har refleksiv symmetri om y-aksen. Oddhet eller jevnhet av funksjoner er først og fremst av bruk i graffunksjoner.
En funksjon er et forhold som relaterer elementene fra ett sett med tall - domenet, til elementene i et annet sett - området. Forholdet er generelt definert i form av en matematisk ligning, der hvis et tall fra domenet settes inn i ligningen, blir en enkelt verdi fra området gitt som svaret. Som et eksempel, for funksjonen f (x) = 3x 2 + 1, når x = 2 er verdien som er valgt fra domenet, f (x) = f (2) = 13. Hvis domenet og området begge er fra settet med reelle tall, kan funksjonen graferes med å plotte hvert punkt (x, f (x), hvor x-koorden er å plotte hvert punkt (x, f (x), hvor x-koorden er grafen til å plotte hvert punkt (Tion og Y-koordinatet er samsvarende verdi fra funksjonen for funksjonen.
Relatert til konseptet med den jevnlige funksjonen er den rare funksjonen. En merkelig funksjon er en der utsagnet f (x) = -f (-x) for alle virkelige verdier av x. Når de er graferte, har rare funksjoner rotasjonssymmetri rundt opprinnelsen.
Selv om flertallet av funksjonene verken er rare eller engang, eksisterer det fremdeles et uendelig antall jevn funksjoner. Den konstante funksjonen, f (x) = c, der funksjonen bare har en verdi uansett hvilken verdi fra domenet som er valgt, er en jevn funksjon. Kraftfunksjonene, f (x) = x n, er til og med så lenge n er noe til og med heltall. Blant de trigonometriske funksjonene er kosinus og secant begge til og med funksjoner, og det samme er de tilsvarende hyperbolske funksjonene f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x)/2 og f (x) = sech (x) = 2/( e x + e sup> e)
Nye jevnlige funksjoner kan opprettes fra andre funksjoner som er kjent for å være til og med funksjoner. Å legge til eller multiplisere alle to til og med funksjoner vil skape en ny jevn funksjon. Hvis en jevn funksjon multipliseres med en konstant, vil den resulterende funksjonen være jevn. Selv funksjoner kan også opprettes av rare funksjoner. Hvis to funksjoner som er kjent for å være rare, for eksempel f (x) = x og g (x) = sin (x), blir multiplisert sammen, vil den resulterende funksjonen, for eksempel h (x) = x sin (x) være jevn.
Nye jevnlige funksjoner kan også opprettes etter komposisjon. En sammensetningsfunksjon, for eksempel h (x) = g (f (x)), er en der utgangen til en funksjon - i dette tilfellet f (x) - brukes som inngang for den andre funksjonen - g (x). Hvis den innerste funksjonen er jevn, vil den resulterende funksjonen også være til og med uavhengig av om den ytre funksjonen er jevn, merkelig eller ingen av dem. Den eksponentielle funksjonen g (x) = e x er for eksempel verken merkelig eller engang, men fordi kosinus er en jevn funksjon, så er det the ny funksjon h (x) = e cos (x).
Et matematisk resultat hevder at hver funksjon som er definert for alle reelle tall kan uttrykkes som summen av en jevn og en merkelig funksjon. Hvis f (x) er noen funksjon definert for alle reelle tall, er det mulig å konstruere to nye funksjoner, g (x) = (f (x) + f (-x))/2 og h (x) = (f (x)-f (-x))/2. Det følger at g (-x) = (f (-x) + f (x))/2 = (f (x) + f (-x))/2 = g (x) og derfor er g (x) en jevn funksjon. På samme måte h (-x) = (f (-x) -f (x))/2 =-(f (x) -f (-x))/2 = -h (x) Så h (x) er per definisjon en merkelig funksjon. Hvis funksjonene blir lagt sammen, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x))/2 + (f (x) -f (-x))/2 = 2 f (x)/2 = f (x). Derfor er hver funksjon f (x) summen av en jevn og en merkelig funksjon.