Qu'est-ce qu'une fonction paire?
Une fonction paire est définie comme toute fonction dans laquelle l'instruction f (x) = f (-x) est vraie pour toutes les valeurs réelles de x. De manière équivalente, une fonction paire est une fonction définie pour toutes les valeurs réelles de x et présentant une symétrie réflexive autour de l'axe des ordonnées. La bizarrerie ou la régularité des fonctions est principalement utilisée dans les fonctions graphiques.
Une fonction est une relation qui relie les éléments d'un ensemble de nombres - le domaine, aux éléments d'un autre ensemble - la plage. La relation est généralement définie en termes d'équation mathématique, dans laquelle si un nombre du domaine est inséré dans l'équation, une valeur unique provenant de l'intervalle est donnée comme réponse. Par exemple, pour la fonction f (x) = 3x 2 + 1, lorsque x = 2 est la valeur sélectionnée dans le domaine, f (x) = f (2) = 13. Si le domaine et la plage sont tous deux de l’ensemble des nombres réels, la fonction peut être représentée graphiquement en traçant chaque point (x, f (x)), où la coordonnée x est du domaine de la fonction et la coordonnée y est la valeur correspondante de la plage de la fonction.
La fonction impaire est liée au concept de la fonction paire. Une fonction impaire est une fonction dans laquelle l'instruction f (x) = -f (-x) pour toutes les valeurs réelles de x. Lorsqu'elles sont représentées, les fonctions impaires ont une symétrie de rotation autour de l'origine.
Bien que la majorité des fonctions ne soient ni impaires ni paires, il existe toujours un nombre infini de fonctions paires. La fonction constante, f (x) = c, dans laquelle la fonction n'a qu'une valeur, quelle que soit la valeur du domaine sélectionnée, est une fonction paire. Les fonctions de puissance, f (x) = x n, sont paires tant que n est un entier pair. Parmi les fonctions trigonométriques, cosinus et sécant sont des fonctions paires, de même que les fonctions hyperboliques correspondantes f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 et f (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x).
De nouvelles fonctions paires peuvent être créées à partir d’autres fonctions connues pour être des fonctions paires. Ajouter ou multiplier deux fonctions paires créeront une nouvelle fonction paire. Si une fonction paire est multipliée par une constante, la fonction résultante sera paire. Les fonctions paires peuvent également être créées à partir de fonctions impaires. Si deux fonctions connues pour être impaires, telles que f (x) = x et g (x) = sin (x), sont multipliées ensemble, la fonction résultante, telle que h (x) = x sin (x) sera paire .
De nouvelles fonctions paires peuvent également être créées par composition. Une fonction de composition, telle que h (x) = g (f (x)), est une fonction dans laquelle la sortie d’une fonction - dans ce cas f (x) - est utilisée comme entrée pour la deuxième fonction - g (x ). Si la fonction la plus interne est paire, la fonction résultante sera également paire, que la fonction extérieure soit paire, paire ou paire. La fonction exponentielle g (x) = e x, par exemple, n'est ni impair ni pair, mais comme le cosinus est une fonction paire, la nouvelle fonction h (x) = e cos (x) l'est également.
Un résultat mathématique dit que chaque fonction définie pour tous les nombres réels peut être exprimée sous la forme de la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Si f (x) est une fonction définie pour tous les nombres réels, il est possible de construire deux nouvelles fonctions, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 et h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Il en résulte que g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) et donc g (x) est une fonction même. De même, h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) alors h (x) est par définition une fonction étrange. Si les fonctions sont additionnées, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Par conséquent, chaque fonction f (x) est la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.