Co to jest funkcja parzysta?

Funkcja parzysta jest zdefiniowana jako dowolna funkcja, w której wyrażenie f (x) = f (-x) jest prawdziwe dla wszystkich rzeczywistych wartości x. Odpowiednio funkcja parzysta to dowolna funkcja, która jest zdefiniowana dla wszystkich rzeczywistych wartości x i ma refleksyjną symetrię wokół osi y. Dziwność lub równość funkcji ma zastosowanie przede wszystkim w funkcjach graficznych.

Funkcja to relacja, która wiąże elementy z jednego zestawu liczb - domeny, z elementami innego zestawu - zakresu. Zależność jest ogólnie definiowana w kategoriach równania matematycznego, w którym jeśli liczba z dziedziny zostanie wstawiona do równania, jako odpowiedź podana zostanie pojedyncza wartość z zakresu. Na przykład dla funkcji f (x) = 3x ² + 1, gdy x = 2 jest wartością wybraną z domeny, f (x) = f (2) = 13. Jeśli domena i zakres pochodzą z zbiór liczb rzeczywistych, wówczas funkcję można wykreślić, wykreślając każdy punkt (x, f (x)), w którym współrzędna x pochodzi z dziedziny funkcji, a współrzędna y odpowiada wartości z zakresu funkcja.

Z koncepcją funkcji parzystej związana jest funkcja nieparzysta. Funkcja nieparzysta to taka, w której instrukcja f (x) = -f (-x) dla wszystkich rzeczywistych wartości x. Po wykreśleniu funkcje nieparzyste mają symetrię obrotową wokół początku.

Chociaż większość funkcji nie jest nieparzysta ani parzysta, nadal istnieje nieskończona liczba funkcji parzystych. Funkcja stała, f (x) = c, w której funkcja ma tylko jedną wartość bez względu na wybraną wartość z domeny, jest funkcją parzystą. Funkcje mocy, f (x) = ^x n, są nawet tak długo, jak n jest dowolną liczbą całkowitą. Wśród funkcji trygonometrycznych cosinus i siecznik są funkcjami parzystymi, podobnie jak odpowiadające im funkcje hiperboliczne f (x) = cosh (x) = ( ^e x + ^e -x) / 2 oraz f (x) = sech (x) = 2 / ( ^e x + ^e -x).

Nowe funkcje parzyste można tworzyć z innych funkcji, o których wiadomo, że są funkcjami parzystymi. Dodanie lub pomnożenie dowolnych dwóch parzystych funkcji spowoduje utworzenie nowej funkcji parzystej. Jeśli funkcja parzysta zostanie pomnożona przez stałą, wynikowa funkcja będzie parzysta. Z funkcji nieparzystych można również tworzyć parzyste funkcje. Jeśli dwie funkcje, o których wiadomo, że są nieparzyste, takie jak f (x) = x ig (x) = sin (x), są mnożone razem, wynikowa funkcja, taka jak h (x) = x sin (x), będzie parzysta .

Nowe parzyste funkcje można również tworzyć poprzez kompozycję. Funkcja kompozycji, taka jak h (x) = g (f (x)), to taka, w której wyjście jednej funkcji - w tym przypadku f (x) - jest wykorzystywane jako dane wejściowe dla drugiej funkcji - g (x ). Jeśli najbardziej wewnętrzna funkcja jest parzysta, wynikowa funkcja będzie również parzysta, niezależnie od tego, czy funkcja zewnętrzna jest parzysta, nieparzysta, czy żadna. Na przykład funkcja wykładnicza g (x) = ^e x nie jest ani nieparzysta, ani parzysta, ale ponieważ cosinus jest funkcją parzystą, podobnie jak nowa funkcja h (x) = ^e cos (x).

Jeden wynik matematyczny utrzymuje, że każda funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych może być wyrażona jako suma funkcji parzystej i nieparzystej. Jeśli f (x) jest dowolną funkcją zdefiniowaną dla wszystkich liczb rzeczywistych, możliwe jest skonstruowanie dwóch nowych funkcji, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 oraz h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Wynika z tego, że g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x), a zatem g (x) wynosi funkcja parzysta. Podobnie, h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) więc h (x) wynosi z definicji funkcja nieparzysta. Jeśli funkcje zostaną dodane razem, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Dlatego każda funkcja f (x) jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej.