Che cos'è una funzione pari?
Una funzione pari è definita come qualsiasi funzione in cui l'istruzione f (x) = f (-x) è vera per tutti i valori reali di x. Equivalentemente, una funzione pari è qualsiasi funzione definita per tutti i valori reali di x e ha una simmetria riflessiva sull'asse y. La stranezza o l'uniformità delle funzioni è principalmente utile nelle funzioni grafiche.
Una funzione è una relazione che mette in relazione gli elementi di un insieme di numeri - il dominio, con gli elementi di un altro insieme - l'intervallo. La relazione viene generalmente definita in termini di equazione matematica, dove se un numero del dominio viene inserito nell'equazione, viene fornito un singolo valore all'interno dell'intervallo come risposta. Ad esempio, per la funzione f (x) = 3x 2 + 1, quando x = 2 è il valore selezionato dal dominio, f (x) = f (2) = 13. Se il dominio e l'intervallo sono entrambi da l'insieme di numeri reali, quindi la funzione può essere rappresentata graficamente tracciando ciascun punto (x, f (x)), dove la coordinata x proviene dal dominio della funzione e la coordinata y è il valore corrispondente nell'intervallo di la funzione.
Relativa al concetto di funzione pari è la funzione dispari. Una funzione dispari è quella in cui l'istruzione f (x) = -f (-x) per tutti i valori reali di x. Quando sono rappresentati graficamente, le funzioni dispari hanno una simmetria rotazionale attorno all'origine.
Sebbene la maggior parte delle funzioni non sia né dispari né pari, esiste ancora un numero infinito di funzioni pari. La funzione costante, f (x) = c, in cui la funzione ha un solo valore, indipendentemente dal valore selezionato dal dominio, è una funzione pari. Le funzioni di potenza, f (x) = x n, sono anche fintanto che n è un numero intero pari. Tra le funzioni trigonometriche, coseno e secante sono entrambe funzioni pari, così come le corrispondenti funzioni iperboliche f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 ef (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x).
Nuove funzioni pari possono essere create da altre funzioni che sono note per essere funzioni pari. L'aggiunta o la moltiplicazione di due funzioni pari creerà una nuova funzione pari. Se una funzione pari viene moltiplicata per una costante, la funzione risultante sarà pari. Anche le funzioni possono essere create anche da funzioni dispari. Se due funzioni note per essere dispari, come f (x) = x e g (x) = sin (x), vengono moltiplicate insieme, la funzione risultante, come h (x) = x sin (x) sarà pari .
Nuove funzioni pari possono anche essere create dalla composizione. Una funzione di composizione, come h (x) = g (f (x)), è una in cui l'output di una funzione - in questo caso f (x) - viene utilizzato come input per la seconda funzione - g (x ). Se la funzione più interna è pari, anche la funzione risultante sarà pari indipendentemente dal fatto che la funzione esterna sia pari, dispari o nessuna delle due. La funzione esponenziale g (x) = e x, ad esempio, non è né dispari né pari, ma poiché il coseno è una funzione pari, lo è anche la nuova funzione h (x) = e cos (x).
Un risultato matematico sostiene che ogni funzione definita per tutti i numeri reali può essere espressa come la somma di una funzione pari e dispari. Se f (x) è una funzione definita per tutti i numeri reali, è possibile costruire due nuove funzioni, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 e h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Ne segue che g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) e quindi g (x) è una funzione uniforme. Allo stesso modo, h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) quindi h (x) è per definizione una funzione dispari. Se le funzioni vengono sommate, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Pertanto ogni funzione f (x) è la somma di una funzione pari e dispari.