Hvad er en jævn funktion?
En jævn funktion er defineret som enhver funktion, hvor udsagnet f (x) = f (-x) gælder for alle reelle værdier af x. Ligeledes er en jævn funktion enhver funktion, der er defineret for alle reelle værdier af x og har refleksiv symmetri omkring y-aksen. Mærkethed eller jævnhed af funktioner er primært til brug i graffunktioner.
En funktion er et forhold, der relaterer elementerne fra et sæt numre - domænet, til elementerne i et andet sæt - området. Forholdet er generelt defineret i form af en matematisk ligning, hvor hvis et tal fra domænet indsættes i ligningen, gives en enkelt værdi inden for området som svaret. Som et eksempel for funktionen f (x) = 3x 2 + 1, når x = 2 er den valgte værdi fra domænet, er f (x) = f (2) = 13. Hvis domænet og området begge er fra sættet med reelle tal, så kan funktionen graferes ved at plotte hvert punkt (x, f (x)), hvor x-koordinaten er fra funktionens domæne og y-koordinaten er den matchende værdi fra området for funktionen.
Relateret til begrebet jævn funktion er den ulige funktion. En ulige funktion er en, hvor udsagnet f (x) = -f (-x) for alle reelle værdier af x. Når de er graferet, har ulige funktioner rotationssymmetri omkring oprindelsen.
Selvom hovedparten af funktionerne hverken er underlige eller lige, findes der stadig et uendeligt antal lige funktioner. Den konstante funktion, f (x) = c, hvor funktionen kun har en værdi, uanset hvilken værdi fra domænet der er valgt, er en jævn funktion. Kraftfunktionerne, f (x) = x n, er lige så længe som n er et hvilket som helst jævnt heltal. Blandt de trigonometriske funktioner er cosinus og sekant begge lige funktioner, ligesom de tilsvarende hyperboliske funktioner f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x) / 2 og f (x) = sech (x) = 2 / ( e x + e -x).
Nye lige funktioner kan oprettes fra andre funktioner, der vides at være jævne funktioner. Tilføjelse eller multiplikation af to lige jævnfunktioner skaber en ny jævn funktion. Hvis en jævn funktion ganges med en konstant, vil den resulterende funktion være jævn. Selv funktioner kan også oprettes fra ulige funktioner. Hvis to funktioner, der vides at være ulige, såsom f (x) = x og g (x) = sin (x), multipliceres sammen, vil den resulterende funktion, såsom h (x) = x sin (x) være jævn .
Nye lige funktioner kan også oprettes ved komposition. En kompositionsfunktion, såsom h (x) = g (f (x)), er en, hvor output fra en funktion - i dette tilfælde f (x) - bruges som input til den anden funktion - g (x ). Hvis den inderste funktion er jævn, vil den resulterende funktion også være jævn, uanset om den ydre funktion er jævn, ulig eller ingen. Eksponentiel funktion g (x) = e x er for eksempel hverken underlig eller jævn, men fordi cosinus er en jævn funktion, så er den nye funktion h (x) = e cos (x).
Et matematisk resultat hævder, at hver funktion, der er defineret for alle reelle tal, kan udtrykkes som summen af en jævn og en ulig funktion. Hvis f (x) er en funktion defineret for alle reelle tal, er det muligt at konstruere to nye funktioner, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 og h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Det følger, at g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x), og derfor er g (x) en jævn funktion. Ligeledes h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) så h (x) er pr. definition en ulige funktion. Hvis funktionerne tilføjes sammen, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Derfor er hver funktion f (x) summen af en jævn og en ulig funktion.