Vad är en jämn funktion?

En jämn funktion definieras som alla funktioner där uttalandet f (x) = f (-x) gäller för alla verkliga värden på x. På samma sätt är en jämn funktion vilken funktion som helst som definieras för alla verkliga värden på x och har reflexiv symmetri kring y-axeln. Udda eller jämnhet av funktioner är främst användbar i diagramfunktioner.

En funktion är en relation som relaterar elementen från en uppsättning nummer - domänen, till elementen i en annan uppsättning - intervallet. Förhållandet definieras generellt i termer av en matematisk ekvation, där om ett nummer från domänen sätts in i ekvationen, ges ett enda värde inom intervallet som svaret. Som exempel, för funktionen f (x) = 3x ² + 1, när x = 2 är det värde som valts från domänen, är f (x) = f (2) = 13. Om domänen och området båda är från uppsättningen av verkliga siffror, då kan funktionen graferas genom att plotta varje punkt (x, f (x)), där x-koordinaten är från funktionens domän och y-koordinaten är det matchande värdet från området för funktionen.

Relaterat till begreppet jämn funktion är den udda funktionen. En udda funktion är en där satsen f (x) = -f (-x) för alla verkliga värden på x. När de är graferade har udda funktioner rotationssymmetri runt ursprunget.

Även om majoriteten av funktionerna varken är udda eller jämna finns det fortfarande ett oändligt antal jämna funktioner. Den konstanta funktionen, f (x) = c, där funktionen bara har ett värde oavsett vilket värde från domänen är vald, är en jämn funktion. Kraftfunktionerna, f (x) = ^x n, är till och med så länge n är ett jämnt heltal. Bland de trigonometriska funktionerna är cosinus och secant båda jämna funktioner, liksom motsvarande hyperboliska funktioner f (x) = cosh (x) = ( ^e x + ^e -x) / 2 och f (x) = sech (x) = 2 / ( ^e x + ^e -x).

Nya jämna funktioner kan skapas från andra funktioner som är kända för att vara jämna funktioner. Att lägga till eller multiplicera två jämna funktioner skapar en ny jämn funktion. Om en jämn funktion multipliceras med en konstant är den resulterande funktionen jämn. Även funktioner kan skapas från udda funktioner. Om två funktioner som är kända för att vara udda, såsom f (x) = x och g (x) = sin (x), multipliceras tillsammans, kommer den resulterande funktionen, såsom h (x) = x sin (x), att vara jämn .

Nya jämna funktioner kan också skapas genom komposition. En kompositionsfunktion, såsom h (x) = g (f (x)), är en där utgången från en funktion - i detta fall f (x) - används som ingång för den andra funktionen - g (x) ). Om den innersta funktionen är jämn kommer den resulterande funktionen att vara jämn oavsett om den yttre funktionen är jämn, udda eller varken. Den exponentiella funktionen g (x) = ^e x är till exempel varken udda eller jämn, men eftersom kosinus är en jämn funktion, så är den nya funktionen h (x) = ^e cos (x).

Ett matematiskt resultat säger att varje funktion som definieras för alla verkliga siffror kan uttryckas som summan av en jämn och en udda funktion. Om f (x) är någon funktion definierad för alla verkliga siffror är det möjligt att konstruera två nya funktioner, g (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 och h (x) = (f (x) - f (-x)) / 2. Det följer att g (-x) = (f (-x) + f (x)) / 2 = (f (x) + f (-x)) / 2 = g (x) och därför är g (x) en jämn funktion. Likaså är h (-x) = (f (-x) -f (x)) / 2 = - (f (x) -f (-x)) / 2 = -h (x) så h (x) är per definition en udda funktion. Om funktionerna läggs samman, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x)) / 2 + (f (x) -f (-x)) / 2 = 2 f ( x) / 2 = f (x). Därför är varje funktion f (x) summan av en jämn och en udda funktion.