Vad är en jämn funktion?
En jämn funktion definieras som alla funktioner där uttalandet f (x) = f (-x) gäller för alla verkliga värden på x. På motsvarande sätt är en jämn funktion alla funktioner som definieras för alla verkliga värden på x och har reflexiv symmetri om y-axeln. Kodernitet eller jämnhet i funktioner är främst av användning i graferingsfunktioner.
En funktion är en relation som relaterar elementen från en uppsättning siffror - domänen, till elementen i en annan uppsättning - intervallet. Förhållandet definieras vanligtvis i termer av en matematisk ekvation, där om ett nummer från domänen sätts in i ekvationen, ges ett enda värde inom intervallet som svaret. As an example, for the function f(x) = 3x2 + 1, when x = 2 is the value selected from the domain, f(x) = f(2) = 13. If the domain and the range are both from the set of real numbers, then the function can be graphed by plotting each point (x, f(x)), where the x-coordinate is from the domain of the function och y-koordinat är det matchande värdet från funktionen.
relaterat till konceptet med jämn funktion är den udda funktionen. En udda funktion är en där uttalandet f (x) = -f (-x) för alla verkliga värden på x. När de graferas har udda funktioner rotationssymmetri runt ursprunget.
Även om majoriteten av funktionerna varken är udda eller ens, finns det fortfarande ett oändligt antal jämna funktioner. Den konstanta funktionen, f (x) = c, där funktionen bara har ett värde oavsett vilket värde från domänen är vald, är en jämn funktion. Kraftfunktionerna, f (x) = x n, är till och med så länge n är något jämnt heltal. Bland de trigonometriska funktionerna är kosinus och sekant båda till och med funktioner, liksom motsvarande hyperboliska funktioner f (x) = cosh (x) = ( e x + e -x)/2 och f (x) = sech (x) = 2/( e x + -x).
Nya jämna funktioner kan skapas från andra funktioner som är kända för att vara jämna funktioner. Att lägga till eller multiplicera två jämna funktioner skapar en ny jämn funktion. Om en jämn funktion multipliceras med en konstant kommer den resulterande funktionen att vara jämn. Även funktioner kan också skapas från udda funktioner. Om två funktioner som är kända för att vara udda, såsom f (x) = x och g (x) = sin (x), multipliceras tillsammans, kommer den resulterande funktionen, såsom h (x) = x sin (x) att vara jämn.
Nya jämna funktioner kan också skapas genom komposition. En kompositionsfunktion, såsom h (x) = g (f (x)), är en där utgången från en funktion - i detta fall f (x) - används som ingång för den andra funktionen - g (x). Om den innersta funktionen är jämn kommer den resulterande funktionen också att vara till och med oavsett om den yttre funktionen är jämn, udda eller varken. Exponentiell funktion g (x) = e x, till exempel, är varken udda eller ens, men eftersom kosinus är en jämn funktion, så är det ocksåE ny funktion h (x) = e cos (x).
Ett matematiskt resultat anser att varje funktion som definieras för alla verkliga siffror kan uttryckas som summan av en jämn och en udda funktion. Om f (x) är någon funktion definierad för alla verkliga siffror är det möjligt att konstruera två nya funktioner, g (x) = (f (x) + f (-x))/2 och h (x) = (f (x)-f (-x))/2. Det följer att g (-x) = (f (-x) + f (x))/2 = (f (x) + f (-x))/2 = g (x) och därför är g (x) en jämn funktion. På samma sätt h (-x) = (f (-x) -f (x))/2 =-(f (x) -f (-x))/2 = -h (x) Så h (x) är per definition en udda funktion. Om funktionerna läggs samman, g (x) + h (x) = (f (x) + f (-x))/2 + (f (x) -f (-x))/2 = 2 f (x)/2 = f (x). Därför är varje funktion f (x) summan av en jämn och en udda funktion.