Wat is ingestelde theorie?

Set Theory vormt het grootste deel van de basis van moderne wiskunde en werd eind 1800 geformaliseerd. Set Theory beschrijft enkele zeer fundamentele en intuïtieve ideeën over hoe dingen "elementen" of "leden" in elkaar passen in groepen. Ondanks de schijnbare eenvoud van de ideeën, is de set -theorie behoorlijk rigoureus. Bij het proberen alle willekeur in hun theorieën te elimineren, hebben wiskundigen in de loop der jaren in indrukwekkende mate een verfijnde theorie. Sets worden meestal gesymboliseerd door cursieve hoofdletters zoals a of b . Als twee sets dezelfde leden bevatten, kunnen ze worden getoond als equivalent met een gelijk teken.

De inhoud van een set kan worden beschreven in eenvoudig Engels: a = Alle terrestrische zoogdieren. Inhoud kan ook binnen beugels worden vermeld: a = {beren, koeien, varkens, enz.} Voor grote sets kan ellips worden gebruikt, waar het patroon van de set kan wordenis duidelijk. Bijvoorbeeld a = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Eén type set heeft nul leden, de set die bekend staat als de lege set . Het wordt gesymboliseerd door een nul met een diagonale lijn die van links naar rechts stijgt. Hoewel schijnbaar triviaal, het blijkt wiskundig heel belangrijk te zijn.

Sommige sets bevatten andere sets, waardoor het supersets wordt bestempeld. De ingesloten sets zijn subsets . In de ingestelde theorie wordt deze relatie aangeduid als "inclusie" of "insluiting", gesymboliseerd door een notatie die lijkt op de letter u 90 graden aan de rechterkant. Grafisch kan dit worden weergegeven als een cirkel in een andere, grotere cirkel.

Sommige veel voorkomende sets in de set -theorie zijn N, de set van alle natuurlijke getallen; Z, de set van alle gehele getallen; V, de set van alle rationele getallen; R, de set van alle reële getallen; en C, de set van alle complexe getallen.

Wanneer twee sets overlappen, maar geen van beide is volledig ingebed in de andere, wordt het hele ding een unie van sets genoemd. Dit wordt weergegeven door een symbool vergelijkbaar met de letter U, maar iets breder. In set notatie betekent a u b "De set elementen die lid zijn van a of b ". Draai dit symbool ondersteboven en je krijgt de kruising van a en b , die verwijst naar alle elementen die lid zijn van beide sets. In set -theorie kunnen sets ook van elkaar worden "afgetrokken", wat resulteert in complements. Bijvoorbeeld b - a is gelijk aan de set elementen die lid zijn van B maar niet a.

Uit de bovenstaande stichtingen is de meeste wiskunde afgeleid. Bijna alle wiskundige systemen bevatten eigenschappen die fundamenteel kunnen worden beschreven in termen van ingestelde theorie.