Wat is Set Theory?

De verzamelingenleer vormt het grootste deel van de basis van de moderne wiskunde en werd eind 19e eeuw geformaliseerd. De verzamelingenleer beschrijft enkele zeer fundamentele en intuïtieve ideeën over hoe dingen die 'elementen' of 'leden' worden genoemd, in groepen passen. Ondanks de ogenschijnlijke eenvoud van de ideeën, is de verzamelingenleer behoorlijk streng. In hun streven om alle willekeur in hun theorieën te elimineren, hebben wiskundigen de verzamelde theorie in de loop van de jaren in een indrukwekkende mate verfijnd.

In de verzamelingenleer is een verzameling een goed gedefinieerde groep elementen of leden. Sets worden meestal gesymboliseerd door cursieve hoofdletters zoals A of B. Als twee sets dezelfde leden bevatten, kunnen ze worden weergegeven als equivalent met een gelijkteken.

De inhoud van een set kan in eenvoudig Engels worden beschreven: A = alle terrestrische zoogdieren. De inhoud kan ook tussen haakjes worden vermeld: A = {beren, koeien, varkens, enz.} Voor grote sets kunnen ellips worden gebruikt, waarbij het patroon van de set duidelijk zichtbaar is. Bijvoorbeeld A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Eén type set heeft nul leden, de set staat bekend als de lege set . Het wordt gesymboliseerd door een nul met een diagonale lijn van links naar rechts. Hoewel het triviaal lijkt, blijkt het wiskundig heel belangrijk te zijn.

Sommige sets bevatten andere sets, daarom worden ze supersets genoemd . De opgenomen sets zijn subsets . In de set-theorie wordt deze relatie "inclusie" of "insluiting" genoemd, gesymboliseerd door een notatie die eruitziet als de letter U 90 graden naar rechts gedraaid. Grafisch kan dit worden weergegeven als een cirkel in een andere, grotere cirkel.

Enkele veel voorkomende verzamelingen in verzamelingenleer omvatten N, de verzameling van alle natuurlijke getallen; Z, de verzameling van alle gehele getallen; Q, de verzameling van alle rationale getallen; R, de verzameling van alle reële getallen; en C, de verzameling van alle complexe getallen.

Wanneer twee sets elkaar overlappen, maar geen van beide volledig in de andere is ingebed, wordt het geheel een unie van sets genoemd . Dit wordt voorgesteld door een symbool vergelijkbaar met de letter U, maar iets breder. In setnotatie betekent A UB "de set elementen die lid zijn van A of B ". Draai dit symbool ondersteboven en je krijgt de kruising van A en B , die verwijst naar alle elementen die lid zijn van beide sets. In verzamelingenleer kunnen sets ook van elkaar worden "afgetrokken", wat tot complementen leidt. B - A is bijvoorbeeld gelijk aan de verzameling elementen die lid zijn van B maar niet A.

Uit de bovenstaande grondslagen is het grootste deel van de wiskunde afgeleid. Bijna alle wiskundige systemen bevatten eigenschappen die fundamenteel kunnen worden beschreven in termen van verzamelingenleer.