Hvad er sæt teori?

Sætsteori udgør det meste af grundlaget for moderne matematik og blev formaliseret i slutningen af ​​1800-tallet. Sætteori beskriver nogle meget grundlæggende og intuitive ideer om, hvordan ting, der kaldes "elementer" eller "medlemmer", passer sammen i grupper. På trods af ideernes tilsyneladende enkelhed er sætteorien ganske streng. I forsøg på at eliminere al vilkårlighed i deres teorier har matematikere finjusteret sætteori i årenes løb.

I sætteori er et sæt enhver veldefineret gruppe af elementer eller medlemmer. Sæt symboliseres normalt med kursiverede store bogstaver som A eller B. Hvis to sæt indeholder de samme medlemmer, kan de vises som ækvivalente med et lige tegn.

Indholdet af et sæt kan beskrives på enkelt engelsk: A = alle landpattedyr. Indholdet kan også anføres inden for parenteser: A = {bjørne, køer, svin osv.} Ved store sæt kan der anvendes ellipsis, hvor mønsteret på sættet er indlysende. For eksempel A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. En type sæt har nul medlemmer, det sæt kendt som det tomme sæt . Det symboliseres med et nul med en diagonal linje stigende fra venstre mod højre. Selvom det tilsyneladende er trivielt, viser det sig at være ret vigtigt matematisk.

Nogle sæt indeholder andre sæt, derfor mærket supersæt . De indeholdte sæt er undergrupper . I sætteori omtales dette forhold som "inkludering" eller "indeslutning", symboliseret med en notation, der ligner bogstavet U roteret 90 grader til højre. Grafisk kan dette repræsenteres som en cirkel indeholdt i en anden, større cirkel.

Nogle almindelige sæt i sætteori inkluderer N, sættet med alle naturlige tal; Z, sættet med alle heltal; Q, sættet med alle rationelle tal; R, sættet med alle reelle tal; og C, sættet med alle komplekse tal.

Når to sæt overlapper hinanden, men ingen af ​​dem er fuldstændigt indlejret i det andet, kaldes det hele forening af sæt . Dette er repræsenteret af et symbol, der ligner bogstavet U, men lidt bredere. I sætnotation betyder A UB "det sæt elementer, der er medlemmer af enten A eller B ". Vend dette symbol på hovedet, så får du krydset mellem A og B , der henviser til alle elementer, der er medlemmer af begge sæt. I sætteorien kan sæt også "trækkes fra hinanden", hvilket resulterer i komplement. For eksempel er B - A ækvivalent med det sæt elementer, der er medlemmer af B, men ikke A.

Fra ovenstående fundamenter er det meste af matematik afledt. Næsten alle matematiske systemer indeholder egenskaber, der kan beskrives grundlæggende med hensyn til sætteori.