セット理論とは何ですか？

セット理論は、現代数学の基礎の大部分を構成し、1800年代後半に正式化されました。セット理論は、「要素」または「メンバー」と呼ばれるものがグループにどのように適合するかについての非常に基本的で直感的なアイデアを説明しています。 アイデアの明らかな単純さにもかかわらず、セット理論は非常に厳格です。 理論のすべてのarbitrar性を排除しようとする際に、数学者は長年にわたって印象的な程度まで微調整された理論を持っています。セットは通常、 a や b のような斜体の大文字によって象徴されます。 2つのセットに同じメンバーが含まれている場合、それらは等しい符号と同等に表示できます。

セットの内容は、単純な英語で説明できます： a =すべての陸生哺乳類。内容は括弧内にもリストできます： a = {クマ、牛、豚など}大きなセットの場合、省略記号が使用される場合があります。明らかです。たとえば、 a = {2、4、6、8 ... 1000}。 セットの1つのタイプにはゼロメンバーがあり、空のセットとして知られるセット。 それは、左から右に上昇する斜めの線でゼロによって象徴されます。 一見些細なことですが、それは数学的に非常に重要であることが判明しました。

一部のセットには他のセットが含まれているため、スーパーセットとラベル付けされています。 含まれるセットはサブセットです。 セット理論では、この関係は「包含」または「封じ込め」と呼ばれ、文字 u が右に90度回転したように見える表記法によって象徴されています。 グラフィーには、これは別の大きな円に含まれる円として表すことができます。

セット理論のいくつかの一般的なセットには、すべての自然数のセットが含まれます。 Z、すべての整数のセット。 Q、すべての合理的な数字のセット。 r、すべての実数のセット。 C、すべての複雑な数値のセット。

2つのセットが重複しているが、どちらも他方に完全に埋め込まれていない場合、全体がセットの結合と呼ばれます。 これは、文字uに似たシンボルで表されますが、わずかに広くなります。 セット表記では、 a u b は、「 a または b のメンバーである要素のセット」を意味します。 このシンボルを逆さまにして、 a と b の交差点を取得します。これは、両方のセットのメンバーであるすべての要素を指します。 設定された理論では、セットを互いに「差し引く」こともできます。 たとえば、 b - a は、a。

上記の基礎から、数学のほとんどが導き出されます。 ほぼすべての数学システムには、設定された理論の観点から基本的に説明できるプロパティが含まれています。