集合論とは何ですか？

集合論は現代数学の基礎の大部分を構成し、1800年代後半に形式化されました。 集合論は、「要素」または「メンバー」と呼ばれるものがグループにどのように適合するかについての非常に基本的かつ直感的なアイデアを説明しています。 アイデアの見かけの単純さにもかかわらず、集合論は非常に厳密です。 理論のin意性をすべて排除しようとする中で、数学者はセット理論を長年にわたって微調整してきました。

集合論では、 集合は明確に定義された要素またはメンバーのグループです。 通常、セットはAやBのようなイタリック体の大文字で記号化されます。 2つのセットに同じメンバーが含まれる場合、等号付きで同等として表示できます。

セットの内容は、簡単な英語で記述できます。A =すべての陸生哺乳類。 内容は括弧内にリストすることもできます。A = {熊、牛、豚など}大規模なセットの場合、セットのパターンが明らかな場合は省略記号を使用できます。 たとえば、 A = {2、4、6、8 ... 1000}。 セットの1つのタイプには、 空のセットと呼ばれるメンバーがゼロです。 対角線が左から右へ昇るゼロで表されます。 一見些細に思えますが、数学的には非常に重要です。

一部のセットには他のセットが含まれているため、 スーパーセットというラベルが付けられています。 含まれるセットはサブセットです。 集合論では、この関係は「包含」または「封じ込め」と呼ばれ、文字Uが右に90度回転したような表記で象徴されます。 グラフィカルに、これは別の大きな円の中に含まれる円として表すことができます。

集合論の一般的な集合には、すべての自然数の集合であるNが含まれます。 Z、すべての整数のセット。 Q、すべての有理数のセット。 R、すべての実数のセット。 C、すべての複素数のセット。

2つのセットがオーバーラップしているが、どちらももう一方に完全に埋め込まれていない場合、全体をセットの和集合と呼びます 。 これは、文字Uに似た記号で表されますが、わずかに広くなっています。 セット表記では、 A U Bは「 AまたはBのメンバーである要素のセット」を意味します。 このシンボルを上下逆にすると、両方のセットのメンバーであるすべての要素を参照するAとBの交点が得られます。 セット理論では、セットは互いに「減算」され、結果として補数になることがあります。 たとえば、 B - Aは、BではなくAのメンバーである要素のセットと同等です。

上記の基礎から、ほとんどの数学が導き出されます。 ほぼすべての数学システムには、集合論の観点から基本的に説明できるプロパティが含まれています。