O que é teoria dos conjuntos?

A teoria do conjunto constitui a maior parte do fundamento da matemática moderna e foi formalizada no final do século XIX. A teoria do conjunto descreve algumas idéias muito fundamentais e intuitivas sobre como as coisas chamadas "elementos" ou "membros" se encaixam em grupos. Apesar da aparente simplicidade das idéias, a teoria dos conjuntos é bastante rigorosa. Ao procurar eliminar toda a arbitrariedade em suas teorias, os matemáticos têm uma teoria dos conjuntos de ajustes em um grau impressionante ao longo dos anos. Os conjuntos geralmente são simbolizados por letras maiúsculas em itálico como a ou b . Se dois conjuntos contiverem os mesmos membros, eles podem ser mostrados como equivalentes a um sinal igual. O conteúdo também pode ser listado entre colchetes: a = {ursos, vacas, porcos, etc.} Para conjuntos grandes, elipsis podem ser empregados, onde o padrão do conjuntoé óbvio. Por exemplo, a = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Um tipo de conjunto tem zero membros, o conjunto conhecido como conjunto vazio . É simbolizado por um zero com uma linha diagonal ascendente da esquerda para a direita. Embora aparentemente trivial, acaba sendo muito importante matematicamente.

Alguns conjuntos contêm outros conjuntos, sendo rotulados Supersets . Os conjuntos contidos são subconjuntos . Na teoria dos conjuntos, esse relacionamento é chamado de "inclusão" ou "contenção", simbolizada por uma notação que se parece com a letra u girou 90 graus para a direita. Graficamente, isso pode ser representado como um círculo contido em outro círculo maior.

Alguns conjuntos comuns na teoria dos conjuntos incluem n, o conjunto de todos os números naturais; Z, o conjunto de todos os números inteiros; Q, o conjunto de todos os números racionais; R, o conjunto de todos os números reais; e c, o conjunto de todos os números complexos.

Quando dois conjuntos se sobrepõem, mas nenhum deles está completamente incorporado ao outro, a coisa toda é chamada de união de conjuntos . Isso é representado por um símbolo semelhante à letra u, mas um pouco mais larga. Na notação definida, a u b significa "o conjunto de elementos que são membros de a ou b ". Vire esse símbolo de cabeça para baixo e você obtém a interseção de a e b , que se refere a todos os elementos que são membros de ambos os conjuntos. Nos conjuntos de conjuntos de conjuntos, os conjuntos de teoria também podem ser "subtraídos" um do outro, resultando em complementos. Por exemplo, b - a é equivalente ao conjunto de elementos que são membros de B, mas não a.

Das fundações acima, a maioria da matemática é derivada. Quase todos os sistemas matemáticos contêm propriedades que podem ser descritas fundamentalmente em termos de teoria dos conjuntos.