O que é teoria dos conjuntos?
A teoria dos conjuntos constitui a maior parte dos fundamentos da matemática moderna e foi formalizada no final do século XIX. A teoria dos conjuntos descreve algumas idéias fundamentais e intuitivas sobre como as coisas chamadas "elementos" ou "membros" se encaixam em grupos. Apesar da aparente simplicidade das idéias, a teoria dos conjuntos é bastante rigorosa. Ao tentar eliminar toda arbitrariedade em suas teorias, os matemáticos ajustaram a teoria dos conjuntos em um grau impressionante ao longo dos anos.
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é qualquer grupo bem definido de elementos ou membros. Os conjuntos geralmente são simbolizados por letras maiúsculas em itálico, como A ou B. Se dois conjuntos contiverem os mesmos membros, eles poderão ser mostrados como equivalentes a um sinal de igual.
O conteúdo de um conjunto pode ser descrito em inglês simples: A = todos os mamíferos terrestres. O conteúdo também pode ser listado entre parênteses: A = {ursos, vacas, porcos, etc.} Para conjuntos grandes, reticências podem ser empregadas, onde o padrão do conjunto é óbvio. Por exemplo, A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Um tipo de conjunto possui zero membros, o conjunto conhecido como conjunto vazio . É simbolizado por um zero com uma linha diagonal ascendente da esquerda para a direita. Embora aparentemente trivial, acaba sendo importante matematicamente.
Alguns conjuntos contêm outros, sendo, portanto, rotulados como superconjuntos . Os conjuntos contidos são subconjuntos . Na teoria dos conjuntos, esse relacionamento é chamado de "inclusão" ou "contenção", simbolizado por uma notação que se parece com a letra U girada 90 graus para a direita. Graficamente, isso pode ser representado como um círculo contido em outro círculo maior.
Alguns conjuntos comuns na teoria dos conjuntos incluem N, o conjunto de todos os números naturais; Z, o conjunto de todos os números inteiros; Q, o conjunto de todos os números racionais; R, o conjunto de todos os números reais; e C, o conjunto de todos os números complexos.
Quando dois conjuntos se sobrepõem, mas nenhum é completamente incorporado ao outro, a coisa toda é chamada de união de conjuntos . Isso é representado por um símbolo semelhante à letra U, mas um pouco mais largo. Na notação de conjunto, A U B significa "o conjunto de elementos que são membros de A ou B ". Vire esse símbolo de cabeça para baixo e você obterá a interseção de A e B , que se refere a todos os elementos que são membros de ambos os conjuntos. Na teoria dos conjuntos, os conjuntos também podem ser "subtraídos" um do outro, resultando em complementos. Por exemplo, B - A é equivalente ao conjunto de elementos que são membros de B, mas não A.
Dos fundamentos acima, a maior parte da matemática é derivada. Quase todos os sistemas matemáticos contêm propriedades que podem ser descritas fundamentalmente em termos da teoria dos conjuntos.