Cos'è Set Theory?
La teoria degli insiemi costituisce la maggior parte delle basi della matematica moderna ed è stata formalizzata alla fine del 1800. La teoria degli insiemi descrive alcune idee fondamentali e intuitive su come le cose chiamate "elementi" o "membri" si incastrano nei gruppi. Nonostante l'apparente semplicità delle idee, la teoria degli insiemi è piuttosto rigorosa. Nel tentativo di eliminare ogni arbitrarietà nelle loro teorie, i matematici hanno perfezionato la teoria degli insiemi in modo impressionante nel corso degli anni.
Nella teoria degli insiemi un insieme è un gruppo ben definito di elementi o membri. Gli insiemi sono generalmente simboleggiati da lettere maiuscole in corsivo come A o B. Se due set contengono gli stessi membri, possono essere visualizzati come equivalenti con un segno di uguale.
Il contenuto di un set può essere descritto in inglese semplice: A = tutti i mammiferi terrestri. I contenuti possono anche essere elencati tra parentesi: A = {orsi, mucche, maiali, ecc.} Per insiemi di grandi dimensioni, è possibile utilizzare ellissi, in cui il modello dell'insieme è evidente. Ad esempio, A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Un tipo di set ha zero membri, il set noto come set vuoto . È simboleggiato da uno zero con una linea diagonale che sale da sinistra a destra. Sebbene apparentemente banale, risulta matematicamente abbastanza importante.
Alcuni set contengono altri set, pertanto vengono etichettati superset . I set contenuti sono sottoinsiemi . Nella teoria degli insiemi, questa relazione viene definita "inclusione" o "contenimento", simboleggiata da una notazione che assomiglia alla lettera U ruotata di 90 gradi a destra. Graficamente, questo può essere rappresentato come un cerchio contenuto in un altro cerchio più grande.
Alcuni insiemi comuni nella teoria degli insiemi includono N, l'insieme di tutti i numeri naturali; Z, l'insieme di tutti i numeri interi; Q, l'insieme di tutti i numeri razionali; R, l'insieme di tutti i numeri reali; e C, l'insieme di tutti i numeri complessi.
Quando due insiemi si sovrappongono ma nessuno dei due è completamente incorporato nell'altro, l'intera cosa viene chiamata unione di insiemi . Questo è rappresentato da un simbolo simile alla lettera U, ma leggermente più largo. Nella notazione dell'insieme, A U B significa "l'insieme di elementi che sono membri di A o B ". Capovolgi questo simbolo e otterrai l'intersezione di A e B , che si riferisce a tutti gli elementi che sono membri di entrambi i set. Nella teoria degli insiemi gli insiemi possono anche essere "sottratti" l'uno dall'altro, dando luogo a complementi. Ad esempio, B - A è equivalente all'insieme di elementi che sono membri di B ma non A.
Dalle basi di cui sopra, la maggior parte della matematica è derivata. Quasi tutti i sistemi matematici contengono proprietà che possono essere descritte fondamentalmente in termini di teoria degli insiemi.