Cos'è la teoria dei set?
Set Theory costituisce la maggior parte delle fondamenta della matematica moderna ed è stata formalizzata alla fine del 1800. Set Theory descrive alcune idee molto fondamentali e intuitive su come le cose chiamate "elementi" o "membri" si inseriscono nei gruppi. Nonostante l'apparente semplicità delle idee, la teoria degli insiemi è abbastanza rigorosa. Nel cercare di eliminare tutta l'arbitrarietà nelle loro teorie, i matematici hanno messo a punto la teoria degli insiemi nel corso degli anni. I set sono generalmente simboleggiati da lettere capitali in corsivo come a o b . Se due set contengono gli stessi membri, possono essere mostrati come equivalenti con un segno uguale.
Il contenuto di un set può essere descritto in inglese semplice: a = tutti i mammiferi terrestri. I contenuti possono anche essere elencati tra parentesi: a = {orsi, mucche, maiali, ecc.} Per set di grandiè ovvio. Ad esempio, a = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Un tipo di set ha zero membri, il set noto come set vuoto . È simboleggiato da uno zero con una linea diagonale che sale da sinistra a destra. Sebbene apparentemente banale, risulta essere piuttosto importante matematicamente.
Alcuni set contengono altri set, quindi etichettati superset . I set contenuti sono sottoinsiemi . Nella teoria degli insiemi, questa relazione è definita "inclusione" o "contenimento", simboleggiata da una notazione che assomiglia alla lettera u ruotato di 90 gradi a destra. Graficamente, questo può essere rappresentato come un cerchio contenuto in un altro cerchio più grande.
Alcuni set comuni nella teoria degli set includono N, l'insieme di tutti i numeri naturali; Z, l'insieme di tutti i numeri interi; D, l'insieme di tutti i numeri razionali; R, l'insieme di tutti i numeri reali; e C, l'insieme di tutti i numeri complessi.
Quando due set si sovrappongono ma nessuno dei due è completamente incorporato all'interno dell'altro, il tutto è chiamato unione di set . Questo è rappresentato da un simbolo simile alla lettera u, ma leggermente più ampio. Nella notazione impostata, a u b significa "l'insieme di elementi che sono membri di a o b ". Abbassa questo simbolo e ottieni l'intersezione di A e b , che si riferisce a tutti gli elementi che sono membri di entrambi i set. Negli insiemi i set di teoria possono anche essere "sottratti" l'uno dall'altro, con conseguenti complementi. Ad esempio, b - a è equivalente all'insieme di elementi che sono membri di B ma non a.
Dalle basi di cui sopra, la maggior parte della matematica è derivata. Quasi tutti i sistemi matematici contengono proprietà che possono essere descritte fondamentalmente in termini di teoria degli insiemi.