Quelle est la théorie des ensembles?

La théorie des ensembles constitue l'essentiel du fondement des mathématiques modernes et a été officialisée à la fin du XIXe siècle. La théorie des ensembles décrit certaines idées très fondamentales et intuitives sur la manière dont des éléments appelés "éléments" ou "membres" s'intègrent dans des groupes. Malgré l'apparente simplicité des idées, la théorie des ensembles est assez rigoureuse. En cherchant à éliminer tout arbitraire dans leurs théories, les mathématiciens ont affiné la théorie des ensembles à un degré impressionnant au fil des ans.

En théorie des ensembles, un ensemble est un groupe d'éléments ou de membres bien défini. Les ensembles sont généralement symbolisés par des lettres majuscules en italique, telles que A ou B. Si deux ensembles contiennent les mêmes membres, vous pouvez les afficher comme équivalents avec un signe égal.

Le contenu d'un ensemble peut être décrit en anglais simple: A = tous les mammifères terrestres. Le contenu peut également être indiqué entre parenthèses: A = {ours, vaches, porcs, etc.} Pour les grands ensembles, vous pouvez utiliser des points de suspension, dans lesquels le motif de l'ensemble est évident. Par exemple, A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Un type d'ensemble n'a pas de membres, l'ensemble est appelé ensemble vide . Il est symbolisé par un zéro avec une diagonale ascendante de gauche à droite. Bien qu'apparemment trivial, il s'avère être assez important du point de vue mathématique.

Certains ensembles contiennent d’autres ensembles, et sont donc étiquetés supersets . Les ensembles contenus sont des sous - ensembles . En théorie des ensembles, cette relation est appelée "inclusion" ou "confinement", symbolisée par une notation qui ressemble à la lettre U pivotée de 90 degrés vers la droite. Graphiquement, cela peut être représenté comme un cercle contenu dans un autre cercle plus grand.

Certains ensembles courants de la théorie des ensembles incluent N, l'ensemble de tous les nombres naturels; Z, l'ensemble de tous les entiers; Q, l'ensemble de tous les nombres rationnels; R, l'ensemble de tous les nombres réels; et C, l'ensemble de tous les nombres complexes.

Lorsque deux ensembles se chevauchent mais qu'aucun n'est complètement intégré à l'autre, l'ensemble est appelé une union d'ensembles . Ceci est représenté par un symbole similaire à la lettre U, mais légèrement plus large. Dans la notation d'ensemble, A U B signifie "l'ensemble d'éléments qui sont membres de A ou de B ". Retournez ce symbole et vous obtenez l'intersection de A et B , qui fait référence à tous les éléments membres des deux ensembles. Dans la théorie des ensembles, les ensembles peuvent également être "soustraits" les uns aux autres, donnant ainsi lieu à des compléments. Par exemple, B - A est équivalent à l'ensemble des éléments qui sont membres de B mais pas A.

Des bases ci-dessus, la plupart des mathématiques sont dérivées. Presque tous les systèmes mathématiques contiennent des propriétés qui peuvent être décrites fondamentalement en termes de théorie des ensembles.