Qu'est-ce que la théorie des ensembles?
La théorie des ensembles constitue la plupart des fondements des mathématiques modernes et a été officialisé à la fin des années 1800. Set Theory décrit des idées très fondamentales et intuitives sur la façon dont les choses appelées "éléments" ou "membres" s'assemblent dans des groupes. Malgré la simplicité apparente des idées, la théorie des ensembles est assez rigoureuse. En cherchant à éliminer toute arbitraire dans leurs théories, les mathématiciens ont une théorie des ensembles affinés à un degré impressionnant au fil des ans.
Dans la théorie des ensembles, un set est un groupe d'éléments ou de membres bien définis. Les ensembles sont généralement symbolisés par des lettres majuscules en italique comme a ou b . Si deux ensembles contiennent les mêmes membres, ils peuvent être montrés comme équivalents avec un signe égal.
Le contenu d'un ensemble peut être décrit en anglais simple: a = Tous les mammifères terrestres. Le contenu peut également être répertorié entre parenthèses: a = {ours, vaches, porcs, etc.} Pour les grands ensembles, les ellipsis peuvent être utilisés, où le modèle de l'ensembleest évident. Par exemple, a = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Un type d'ensemble a zéro membre, l'ensemble connu sous le nom de set vide . Il est symbolisé par un zéro avec une ligne diagonale montante de gauche à droite. Bien qu'apparemment trivial, il s'avère être très important mathématiquement.
Certains ensembles contiennent d'autres ensembles, étant donc étiquetés SuperSets . Les ensembles contenus sont sous-ensembles . Dans la théorie des ensembles, cette relation est appelée «inclusion» ou «confinement», symbolisé par une notation qui ressemble à la lettre u tournée à 90 degrés vers la droite. Graphiquement, cela peut être représenté comme un cercle contenu dans un autre cercle plus grand.
Certains ensembles communs dans la théorie des ensembles incluent N, l'ensemble de tous les nombres naturels; Z, l'ensemble de tous les entiers; Q, l'ensemble de tous les nombres rationnels; R, l'ensemble de tous les nombres réels; et c, l'ensemble de tous les nombres complexes.
Lorsque deux ensembles se chevauchent mais ni l'un ni l'autre n'est complètement intégré dans l'autre, le tout est appelé une union des ensembles . Ceci est représenté par un symbole similaire à la lettre U, mais légèrement plus large. En notation set, a u b signifie "l'ensemble des éléments qui sont des membres de a ou b ". Tournez ce symbole à l'envers et vous obtenez l'intersection de a et b , qui fait référence à tous les éléments qui sont membres des deux ensembles. Dans les ensembles de théories, les ensembles peuvent également être "soustraits" les uns des autres, ce qui entraîne des compléments. Par exemple, b - a équivaut à l'ensemble d'éléments qui sont membres de B mais pas a.
D'après les fondations ci-dessus, la plupart des mathématiques sont dérivées. Presque tous les systèmes mathématiques contiennent des propriétés qui peuvent être décrites fondamentalement en termes de théorie des ensembles.