Hva er Set Theory?

Settteori utgjør mesteparten av grunnlaget for moderne matematikk, og ble formalisert på slutten av 1800-tallet. Settteori beskriver noen veldig grunnleggende og intuitive ideer om hvordan ting som kalles "elementer" eller "medlemmer" passer sammen i grupper. Til tross for ideenes tilsynelatende enkelhet, er setteorien ganske streng. I å prøve å eliminere all vilkårlighet i teoriene sine, har matematikere finjustert settteorien i imponerende grad gjennom årene.

I settteorien er et sett enhver veldefinert gruppe av elementer eller medlemmer. Sett er vanligvis symbolisert med kursiverte store bokstaver som A eller B. Hvis to sett inneholder de samme medlemmene, kan de vises som ekvivalenter med et lik tegn.

Innholdet i et sett kan beskrives på enkel engelsk: A = alle terrestriske pattedyr. Innhold kan også vises i parentes: A = {bjørn, kuer, svin osv.}. For store sett kan det brukes ellipsis, der mønsteret til settet er åpenbart. For eksempel A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Én type sett har null medlemmer, settet kjent som det tomme settet . Det symboliseres med en null med en diagonal linje stigende fra venstre til høyre. Selv om det er tilsynelatende trivielt, viser det seg å være ganske viktig matematisk.

Noen sett inneholder andre sett, derfor blir de merket supersett . Setene som er inneholdt er undergrupper . I settteorien blir dette forholdet referert til som "inkludering" eller "inneslutning", symbolisert av en notasjon som ser ut som bokstaven U roterte 90 grader til høyre. Grafisk kan dette bli representert som en sirkel inneholdt i en annen, større sirkel.

Noen vanlige sett i settteorien inkluderer N, settet med alle naturlige tall; Z, settet med alle heltall; Q, settet med alle rasjonelle tall; R, settet med alle reelle tall; og C, settet med alle komplekse tall.

Når to sett overlapper hverandre, men ingen av dem er fullstendig innebygd i det andre, kalles det hele for en samling av sett . Dette er representert med et symbol som ligner bokstaven U, men litt bredere. I settnotasjon betyr A UB "settet med elementer som er medlemmer av enten A eller B ". Snu dette symbolet opp ned, og du får krysset mellom A og B , som refererer til alle elementer som er medlemmer av begge settene. I settteorien kan sett også "trekkes fra" hverandre, noe som resulterer i komplement. For eksempel er B - A ekvivalent med settet med elementer som er medlemmer av B, men ikke A.

Fra fundamentene ovenfor er mesteparten av matematikk avledet. Nesten alle matematiske systemer inneholder egenskaper som kan beskrives fundamentalt i form av settteori.