Co je teorie množin?

Teorie množin tvoří většinu základů moderní matematiky a byla formalizována na konci 18. století. Teorie množin popisuje některé velmi základní a intuitivní představy o tom, jak věci nazývané „prvky“ nebo „členové“ zapadají do skupin. I přes zjevnou jednoduchost myšlenek je teorie množin velmi přísná. Ve snaze eliminovat veškerou svévolnost ve svých teoriích matematici v průběhu let působivě vyladili teorii množin.

V teorii množiny je množina jakákoli dobře definovaná skupina prvků nebo členů. Sady jsou obvykle symbolizovány kurzívou velkými písmeny jako A nebo B. Pokud dvě sady obsahují stejné členy, mohou být zobrazeny jako rovnocenné se stejným znaménkem.

Obsah sady lze popsat v jednoduché angličtině: A = všichni suchozemští savci. Obsah lze také uvést v závorkách: A = {medvědi, krávy, prasata atd.} Pro velké sady lze použít elipsu, kde je vzor sady zřejmý. Například A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Jeden typ množiny má nulové členy, množinu známou jako prázdná množina . Symbolizuje nula s diagonální linií stoupající zleva doprava. Ačkoli se zdánlivě triviální, ukázalo se, že je to matematicky docela důležité.

Některé sady obsahují jiné sady, proto jsou označeny jako nadmnožiny . Obsažené sady jsou podmnožiny . V teorii množin je tento vztah označován jako „inkluze“ nebo „zadržování“, symbolizovaný zápisem, který vypadá jako písmeno U otočené o 90 stupňů doprava. Graficky to může být reprezentováno jako kruh obsažený v jiném, větším kruhu.

Některé běžné množiny v teorii množin zahrnují N, množinu všech přirozených čísel; Z, množina všech celých čísel; Q, množina všech racionálních čísel; R, množina všech reálných čísel; a C, soubor všech komplexních čísel.

Když se dvě sady překrývají, ale žádná z nich není úplně zabudována do druhé, celá věc se nazývá souborem sad . Je to symbol podobný písmenu U, ale o něco širší. V množinové notaci A U B znamená „množinu prvků, které jsou členy buď A nebo B “. Otočte tento symbol vzhůru nohama a dostanete průnik A a B , který se vztahuje na všechny prvky, které jsou členy obou sad. V teorii množin lze také od sebe „odečíst“, což má za následek doplňky. Například B - A odpovídá množině prvků, které jsou členy B, ale nikoli A.

Z výše uvedených základů je odvozena většina matematiky. Téměř všechny matematické systémy obsahují vlastnosti, které lze zásadně popsat pomocí teorie množin.