Vad är Set Theory?

Uppsättningsteori utgör det mesta av grunden för modern matematik och formaliserades i slutet av 1800-talet. Setteori beskriver några mycket grundläggande och intuitiva idéer om hur saker som kallas "element" eller "medlemmar" passar in i grupper. Trots idéernas tydliga enkelhet är setteorin ganska rigorös. För att eliminera all godtycklighet i sina teorier har matematiker finjusterat setteorin i imponerande grad under åren.

I uppsättningsteorin är en uppsättning vilken som helst väldefinierad grupp av element eller medlemmar. Uppsättningar symboliseras vanligtvis med kursiverade stora bokstäver som A eller B. Om två uppsättningar innehåller samma medlemmar, kan de visas som ekvivalenta med ett lika tecken.

Innehållet i en uppsättning kan beskrivas på enkel engelska: A = alla markdjur. Innehåll kan också anges inom parentes: A = {björnar, kor, grisar, etc.} För stora uppsättningar kan ellips användas, där uppsättningens mönster är uppenbart. Till exempel A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. En typ av uppsättning har noll medlemmar, den uppsättning som kallas den tomma uppsättningen . Det symboliseras av en noll med en diagonal linje stigande från vänster till höger. Även om det verkar vara trivialt, visar det sig vara ganska viktigt matematiskt.

Vissa uppsättningar innehåller andra uppsättningar, varför de betecknas supersets . De medföljande uppsättningarna är undergrupper . I uppsättningsteori kallas detta förhållande som "inkludering" eller "inneslutning", symboliserat av en notation som ser ut som bokstaven U roterade 90 grader till höger. Grafiskt kan detta representeras som en cirkel innehållande en annan, större cirkel.

Vissa vanliga uppsättningar i uppsättningsteorin inkluderar N, uppsättningen av alla naturliga nummer; Z, uppsättningen av alla heltal; Q, uppsättningen av alla rationella nummer; R, uppsättningen av alla verkliga siffror; och C, uppsättningen av alla komplexa siffror.

När två uppsättningar överlappar varandra, men ingen av dem är helt inbäddad i den andra, kallas det hela föreningen av uppsättningar . Detta representeras av en symbol som liknar bokstaven U, men något bredare. I uppsättning notation betyder A UB "uppsättningen av element som är medlemmar i antingen A eller B ". Vänd denna symbol upp och ner så får du skärningspunkten mellan A och B , som hänvisar till alla element som är medlemmar i båda uppsättningarna. I uppsättningsteorier kan uppsättningar också "subtraheras" från varandra, vilket resulterar i komplement. Till exempel är B - A ekvivalent med uppsättningen element som är medlemmar i B men inte A.

Från ovanstående grunder är det mesta av matematiken härledd. Nästan alla matematiska system innehåller egenskaper som kan beskrivas grundläggande i termer av uppsättningsteori.