Co to jest teoria zestawów?

Teoria zbiorów stanowi większość fundamentów współczesnej matematyki i została sformalizowana pod koniec XIX wieku. Teoria zbiorów opisuje kilka bardzo podstawowych i intuicyjnych pomysłów na temat tego, jak rzeczy zwane „elementami” lub „członkami” pasują do siebie w grupy. Pomimo pozornej prostoty pomysłów, teoria mnogości jest dość rygorystyczna. Próbując wyeliminować wszelką arbitralność w swoich teoriach, matematycy dopracowali teorię mnóstwa w imponujący sposób na przestrzeni lat.

W teorii zbiorów zbiór to dowolna dobrze zdefiniowana grupa elementów lub elementów. Zestawy są zwykle symbolizowane dużymi literami kursywą, takimi jak A lub B. Jeśli dwa zestawy zawierają te same elementy, mogą być pokazane jako równoważne znakiem równości.

Zawartość zestawu można opisać prostym językiem angielskim: A = wszystkie ssaki lądowe. Zawartość można również wymienić w nawiasach: A = {niedźwiedzie, krowy, świnie itp.} W przypadku dużych zestawów można zastosować wielokropek, w którym wzór zestawu jest oczywisty. Na przykład A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Jeden typ zestawu ma zero elementów, zbiór znany jako pusty zestaw . Symbolizuje to zero z ukośną linią rosnącą od lewej do prawej. Choć z pozoru banalna, okazuje się być dość ważna matematycznie.

Niektóre zestawy zawierają inne zestawy, dlatego są oznaczone supersetami . Zawarte zestawy są podzestawami . W teorii mnogości związek ten określa się mianem „włączenia” lub „powstrzymywania”, symbolizowanego przez zapis, który wygląda jak litera U obrócona o 90 stopni w prawo. Graficznie można to przedstawić jako okrąg zawarty w innym, większym okręgu.

Niektóre wspólne zbiory w teorii zbiorów obejmują N, zbiór wszystkich liczb naturalnych; Z, zbiór wszystkich liczb całkowitych; Q, zbiór wszystkich liczb wymiernych; R, zbiór wszystkich liczb rzeczywistych; i C, zbiór wszystkich liczb zespolonych.

Kiedy dwa zestawy zachodzą na siebie, ale żaden nie jest całkowicie osadzony w drugim, całość nazywa się połączeniem zbiorów . Jest to reprezentowane przez symbol podobny do litery U, ale nieco szerszy. W zapisie zbioru A U B oznacza „zbiór elementów, które są członkami A lub B ”. Odwróć ten symbol do góry nogami, a otrzymasz przecięcie A i B , które odnoszą się do wszystkich elementów należących do obu zbiorów. W teorii mnogości zestawy można również „odejmować” od siebie, co powoduje uzupełnienia. Na przykład B - A jest równoważne zestawowi elementów, które są członkami B, ale nie A.

Z powyższych podstaw wywodzi się większość matematyki. Prawie wszystkie systemy matematyczne zawierają właściwości, które można opisać zasadniczo w kategoriach teorii mnogości.