Co to jest teoria ustalona?

Set Theory stanowi większość podstaw współczesnej matematyki i została sformalizowana pod koniec XIX wieku. Teoria SET opisuje kilka bardzo fundamentalnych i intuicyjnych pomysłów na temat tego, jak rzeczy nazywane „elementami” lub „członkami” pasują do grup. Pomimo pozornej prostoty pomysłów, teoria zestawu jest dość rygorystyczna. Starając się wyeliminować wszelką arbitralność w swoich teoriach, matematycy na przestrzeni imponującego stopnia teoria na przestrzeni lat.

W teorii A set jest jakąkolwiek dobrze zdefiniowaną grupą elementów lub członków. Zestawy są zwykle symbolizowane przez kursywowe litery kapitałowe, takie jak a lub b . Jeśli dwa zestawy zawierają te same elementy, można je pokazać jako równoważne z równym znakiem.

Zawartość zestawu można opisać w prostym angielskim: A = wszystkie ssaki lądowe. Zawartość można również wymienić w nawiasach: a = {niedźwiedzie, krowy, świnie itp.} W przypadku dużych zestawów można zastosować elipsę, gdzie wzór zestawujest oczywiste. Na przykład A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Jeden typ zestawu ma zero elementów, zestaw znany jako pusty zestaw . Symbolizuje go zero z linią po przekątnej wznoszącej się od lewej do prawej. Choć pozornie trywialne, okazuje się dość ważne matematycznie.

Niektóre zestawy zawierają inne zestawy, a zatem są oznaczone Supersets . Zawarte zestawy to podzbiory . W teorii ustalonej relacja ta jest określana jako „włączenie” lub „powstrzymanie”, symbolizowane przez notację, która wygląda jak litera u obróconych 90 stopni po prawej stronie. Graficznie można to reprezentować jako okrąg zawarty w innym, większym okręgu.

Niektóre wspólne zestawy w teorii zestawu obejmują n, zestaw wszystkich liczb naturalnych; Z, zestaw wszystkich liczb całkowitych; P, zestaw wszystkich liczb racjonalnych; R, zestaw wszystkich rzeczywistych liczb; i C, zestaw wszystkich liczb złożonych.

Kiedy dwa zestawy nakładają się, ale żadne z nich nie jest całkowicie osadzone w drugiej, cała sprawa nazywa się połączeniem zestawów . Jest to reprezentowane przez symbol podobny do litery U, ale nieco szerszy. W notacji zestawu a u b oznacza „zestaw elementów, które są członkami albo lub b ”. Odwróć ten symbol do góry nogami, a otrzymasz przecięcie a i b , które odnosi się do wszystkich elementów, które są członkami obu zestawów. W zestawie zestawów teorii można również „odejmować” od siebie, co powoduje uzupełnienie. Na przykład b - a jest równoważne z zestawem elementów, które są członkami B, ale nie a.

Z powyższych fundamentów wyprowadzana jest większość matematyki. Prawie wszystkie systemy matematyczne zawierają właściwości, które można opisać zasadniczo pod względem teorii ustalonej.