Was ist die festgelegte Theorie?

set theorie bildet den größten Teil der Grundlage der modernen Mathematik und wurde Ende des 19. Jahrhunderts formalisiert. Die Set -Theorie beschreibt einige sehr grundlegende und intuitive Vorstellungen darüber, wie Dinge, die als "Elemente" oder "Mitglieder" bezeichnet werden, in Gruppen zusammenpassen. Trotz der offensichtlichen Einfachheit der Ideen ist die festgelegte Theorie ziemlich streng. Bei der Versuch, alle willkürlichen in ihren Theorien zu beseitigen, haben die Mathematiker im Laufe der Jahre eine fein abgestimmte Set-Theorie beeindruckend. Sets werden normalerweise durch kursivisierte Großbuchstaben wie a oder b symbolisiert. Wenn zwei Sätze die gleichen Mitglieder enthalten, können sie als gleichwertig mit einem gleichen Vorzeichen angezeigt werden. Inhalt kann auch in Klammern aufgeführt werden: a = {Bears, Kühe, Schweine usw.} Für große Sets kann Ellipsis verwendet werden, wobei das Muster des Satzesist offensichtlich. Zum Beispiel a = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Ein Set -Typ hat keine Mitglieder, die als leere Set bekannt ist. Es wird durch eine Null mit einer diagonalen Linie symbolisiert, die von links nach rechts aufsteigt. Obwohl es scheinbar trivial ist, stellt sich heraus, dass es mathematisch sehr wichtig ist.

Einige Sätze enthalten andere Sätze, weshalb Supersets bezeichnet wird. Die enthaltenen Sets sind Subsets . In der festgelegten Theorie wird diese Beziehung als "Inklusion" oder "Eindämmung" bezeichnet, die durch eine Notation symbolisiert wird, die wie der Buchstaben u nach rechts um 90 Grad gedreht aussieht. Grafisch kann dies als Kreis dargestellt werden, der in einem anderen größeren Kreis enthalten ist.

Einige gemeinsame Sätze in der Set -Theorie umfassen N, die Menge aller natürlichen Zahlen; Z, die Menge aller Ganzzahlen; Q, die Menge aller rationalen Zahlen; R, die Menge aller reellen Zahlen; und C, die Menge aller komplexen Zahlen.

Wenn sich zwei Sätze überlappen, aber auch nicht vollständig in das andere eingebettet ist, wird das Ganze als Vereinigung von Sets bezeichnet. Dies wird durch ein Symbol dargestellt, das dem Buchstaben U ähnelt, aber etwas breiter. In der Set -Notation bedeutet a u b "die Elemente, die Mitglieder von entweder a oder b " sind. Drehen Sie dieses Symbol auf den Kopf und Sie erhalten den Schnittpunkt von a und b , was sich auf alle Elemente bezieht, die Mitglieder beider Sätze sind. In der Set -Theorie können Sätze auch voneinander "subtrahiert" werden, was zu Ergänzungen führt. Zum Beispiel ist b - a dem Satz von Elementen, die Mitglieder von B sind, aber nicht A.

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Aus den obigen Fundamenten wird der größte Teil der Mathematik abgeleitet. Nahezu alle mathematischen Systeme enthalten Eigenschaften, die grundlegend in Bezug auf die festgelegte Theorie beschrieben werden können.