Was ist Mengenlehre?
Die Mengenlehre bildet die Grundlage der modernen Mathematik und wurde Ende des 19. Jahrhunderts formalisiert. Die Mengenlehre beschreibt einige sehr grundlegende und intuitive Vorstellungen darüber, wie Dinge, die als "Elemente" oder "Mitglieder" bezeichnet werden, zu Gruppen zusammenpassen. Trotz der scheinbaren Einfachheit der Ideen ist die Mengenlehre ziemlich streng. Um jegliche Willkür in ihren Theorien auszuschalten, haben Mathematiker die Mengenlehre im Laufe der Jahre auf beeindruckende Weise verfeinert.
In der Mengenlehre ist eine Menge eine gut definierte Gruppe von Elementen oder Mitgliedern. Mengen werden normalerweise durch kursive Großbuchstaben wie A oder B symbolisiert. Wenn zwei Mengen dieselben Elemente enthalten, können sie mit einem Gleichheitszeichen als äquivalent angezeigt werden.
Der Inhalt eines Sets kann in einfachem Englisch beschrieben werden: A = alle terrestrischen Säugetiere. Der Inhalt kann auch in Klammern angegeben werden: A = {Bären, Kühe, Schweine usw.} Bei großen Mengen können Auslassungspunkte verwendet werden, bei denen das Muster der Menge offensichtlich ist. Zum Beispiel ist A = {2, 4, 6, 8 ... 1000}. Ein Satztyp hat null Mitglieder, der als leerer Satz bezeichnet wird . Es wird durch eine Null mit einer diagonalen Linie symbolisiert, die von links nach rechts aufsteigt. Obwohl es scheinbar trivial ist, erweist es sich mathematisch als ziemlich wichtig.
Einige Sets enthalten andere Sets und werden daher als Supersets bezeichnet . Die enthaltenen Mengen sind Teilmengen . In der Mengenlehre wird diese Beziehung als "Einschluss" oder "Einschluss" bezeichnet, symbolisiert durch eine Notation, die aussieht, als wäre der Buchstabe U um 90 Grad nach rechts gedreht. Grafisch kann dies als ein Kreis dargestellt werden, der in einem anderen, größeren Kreis enthalten ist.
Einige gebräuchliche Mengen in der Mengenlehre umfassen N, die Menge aller natürlichen Zahlen; Z, die Menge aller ganzen Zahlen; Q, die Menge aller rationalen Zahlen; R, die Menge aller reellen Zahlen; und C die Menge aller komplexen Zahlen.
Wenn sich zwei Mengen überlappen, aber keine vollständig in die andere eingebettet ist, spricht man von einer Vereinigung von Mengen . Dies wird durch ein Symbol dargestellt, das dem Buchstaben U ähnelt, jedoch etwas breiter ist. In der Mengenschreibweise bedeutet A U B "die Menge der Elemente, die entweder zu A oder zu B gehören ". Wenn Sie dieses Symbol auf den Kopf stellen, erhalten Sie den Schnittpunkt von A und B , der sich auf alle Elemente bezieht, die Mitglieder beider Mengen sind. In der Mengenlehre können Mengen auch voneinander "subtrahiert" werden, was zu Komplementen führt. Beispiel: B - A entspricht der Menge der Elemente, die Mitglieder von B, jedoch nicht von A sind.
Aus den obigen Grundlagen leitet sich der größte Teil der Mathematik ab. Nahezu alle mathematischen Systeme enthalten Eigenschaften, die sich in der Mengenlehre grundlegend beschreiben lassen.