Wat is topologie?
Topologie is een tak van wiskunde die zich bezighoudt met de studie van oppervlakken of abstracte ruimtes, waar meetbare hoeveelheden niet belangrijk zijn. Vanwege deze unieke benadering van wiskunde, wordt topologie soms aangeduid als rubberplaatgeometrie, omdat de beschouwde vormen worden verondersteld te bestaan op oneindig rekbare rubberplaten. In de typische geometrie vormen fundamentele vormen zoals de cirkel, het vierkant en de rechthoek de basis voor alle berekeningen, maar in de topologie is de basis er een van continuïteit en de positie van punten ten opzichte van elkaar.
Een topologische kaart kan punten hebben die samen een geometrische vorm kunnen vormen, zoals een driehoek. Deze verzameling punten wordt gezien als een ruimte die ongewijzigd blijft; het maakt echter niet uit hoe het wordt gedraaid of uitgerekt, zoals de punten op een rubberen plaat, het zou onveranderd blijven, ongeacht in welke vorm het was. Dit soort conceptueel raamwerk voor wiskunde wordt vaak gebruikt in gebieden waar grootschalige of kleinschalige vervorming vaak voorkomt, zoals zwaartekrachtputten in de ruimte, deeltjesfysica-analyse op een subatomair niveau, en in de studie van biologische structuren zoals de veranderende vorm van eiwitten.
De geometrie van de topologie houdt geen rekening met de grootte van ruimtes, dus het oppervlak van een kubus heeft dezelfde topologie als die van een bol, omdat een persoon zich kan voorstellen dat ze worden gedraaid om van de ene vorm naar de andere te verschuiven. Zulke vormen die identieke kenmerken delen, worden homeomorfisch genoemd. Een voorbeeld van twee topologische vormen die niet homeomorf zijn of niet kunnen worden gewijzigd om op elkaar te lijken, zijn een bol en een torus of donutvorm.
Het ontdekken van de belangrijkste ruimtelijke eigenschappen van gedefinieerde ruimtes is een primair doel in de topologie. Een set topologische kaart op basisniveau wordt een set Euclidische ruimtes genoemd. Spaties worden gecategoriseerd op basis van hun aantal dimensies, waarbij een lijn een spatie in één dimensie is en een vlak een spatie in twee. De ruimte die door mensen wordt ervaren wordt aangeduid als driedimensionale Euclidische ruimte. Meer gecompliceerde spaties worden spruitstukken genoemd, die op lokaal niveau anders lijken dan op grote schaal.
Manifold sets en knooptheorie proberen oppervlakken in vele dimensies te verklaren die verder gaan dan waarneembaar op een letterlijk menselijk niveau, en de ruimtes zijn gekoppeld aan algebraïsche invarianten om ze te classificeren. Dit proces van homotopietheorie, of de relatie tussen identieke topologische ruimtes, werd geïnitieerd door Henri Poincaré, een Franse wiskundige die van 1854 tot 1912 leefde. Wiskundigen hebben het werk van Poincaré in alle dimensies behalve drie bewezen, waarbij volledige classificatieschema's ongrijpbaar blijven.