Vad är topologi?
Topologi är en gren av matematik som behandlar studier av ytor eller abstrakta utrymmen, där mätbara mängder inte är viktiga. På grund av detta unika tillvägagångssätt för matematik benämns ibland topologi som gummibladgeometri, eftersom de former som beaktas är tänkta att existera på oändligt töjbara gummiblad. I typisk geometri är grundläggande former som cirkel, kvadrat och rektangel grunden för alla beräkningar, men i topologin är grunden en kontinuitet och punkternas placering relativt varandra.
En topologisk karta kan ha punkter som tillsammans skulle utgöra en geometrisk form som en triangel. Denna samling av poäng ses på som ett utrymme som förblir oförändrat; oavsett hur det vrids eller sträckes, som punkterna på ett gummiark, skulle det dock förbli oförändrat oavsett i vilken form det var. Denna typ av konceptuella ramar för matematik används ofta i områden där stor- eller småskalig deformation ofta inträffar, såsom tyngdkraftsbrunnar i rymden, partikelfysikanalys på en subatomär nivå och i studien av biologiska strukturer som t.ex. ändra form på proteiner.
Topologins geometri handlar inte om storleken på utrymmen, så en kubs ytarea har samma topologi som en sfär, eftersom en person kan föreställa sig att de vrids för att skifta från en form till en annan. Sådana former som delar identiska funktioner kallas homeomorphic. Ett exempel på två topologiska former som inte är homeomorf, eller som inte kan ändras för att likna varandra, är en sfär och en torus eller munkform.
Att upptäcka de centrala rumsliga egenskaperna hos definierade utrymmen är ett huvudmål i topologin. En topologisk uppsättning topologisk karta kallas en uppsättning av euklidiska utrymmen. Utrymmen kategoriseras efter deras antal dimensioner, där en linje är ett utrymme i en dimension och ett plan ett utrymme i två. Det utrymme som upplevs av människor kallas tredimensionellt euklidiskt utrymme. Mer komplicerade uppsättningar av utrymmen kallas grenrör, som verkar annorlunda på lokal nivå än i stor skala.
Förgreningsuppsättningar och knutteori försöker förklara ytor i många dimensioner utöver vad som kan uppfattas på en bokstavlig mänsklig nivå, och utrymmena är kopplade till algebraiska invarianter för att klassificera dem. Denna process med homotopyteori, eller förhållandet mellan identiska topologiska utrymmen, initierades av Henri Poincaré, en fransk matematiker som levde från 1854 till 1912. Matematiker har bevisat Poincarés arbete i alla dimensioner men tre, där kompletta klassificeringsscheman för topologier förblir svårfångade.