Co je to topologie?

Topologie je odvětví matematiky, které se zabývá studiem povrchů nebo abstraktních prostorů, kde měřitelné veličiny nejsou důležité. Díky tomuto jedinečnému přístupu k matematice je topologie někdy označována jako geometrie gumové fólie, protože uvažované tvary jsou považovány za existující na nekonečně roztažitelných gumových listech. V typické geometrii jsou základní tvary, jako je kruh, čtverec a obdélník, základem pro všechny výpočty, ale v topologii je základem kontinuita a vzájemná poloha bodů.

Topologická mapa může obsahovat body, které společně vytvoří geometrický tvar, jako je trojúhelník. Tato sbírka bodů je vnímána jako prostor, který zůstává nezměněn; nicméně, bez ohledu na to, jak je to zkroucené nebo napnuté, protože body na gumové fólii by zůstaly nezměněné bez ohledu na to, v jaké formě to bylo. Tento druh koncepčního rámce pro matematiku se často používá v oblastech, kde často dochází k deformaci ve velkém nebo malém měřítku, jako jsou gravitační studny v prostoru, analýza částicové fyziky na subatomární úrovni a při studiu biologických struktur, jako je měnící se tvar bílkovin.

Geometrie topologie se nezabývá velikostí prostorů, takže povrch krychle má stejnou topologii jako koule, protože si člověk může představit, že jsou zkroucené, aby se posunuly z jednoho tvaru do druhého. Takové tvary, které sdílejí stejné rysy, se označují jako homeomorfní. Příkladem dvou topologických tvarů, které nejsou homeomorfní, nebo je nelze změnit tak, aby se navzájem podobaly, jsou koule a torus nebo tvar koblihy.

Objevování základních prostorových vlastností definovaných prostorů je primárním cílem topologie. Topologická mapa sady základní úrovně se označuje jako sada euklidovských prostorů. Prostory jsou roztříděny podle jejich počtu rozměrů, kde čára je mezera v jedné dimenzi a rovina mezera ve dvou. Prostor, který prožívají lidské bytosti, se označuje jako trojrozměrný euklidovský prostor. Složitější sady prostorů se nazývají rozdělovače, které se na místní úrovni objevují jinak než ve velkém měřítku.

Sady potrubí a teorie uzlů se pokoušejí vysvětlit povrchy v mnoha dimenzích nad rámec toho, co je možné vidět na doslovné lidské úrovni, a prostory jsou spojeny s algebraickými invarianty, aby je klasifikovaly. Tento proces teorie homotopie nebo vztah mezi identickými topologickými prostory inicioval francouzský matematik Henri Poincaré, který žil od roku 1854 do roku 1912. Matematici prokázali Poincaréovu práci ve všech dimenzích, kromě tří, kde úplné klasifikační schémata pro topologie zůstávají nepolapitelnou.