Hva er topologi?

Topologi er en gren av matematikk som omhandler studiet av overflater eller abstrakte rom, der målbare mengder ikke er viktige. På grunn av denne unike tilnærmingen til matematikk, blir topologi noen ganger referert til som gummiarkgeometri, fordi formene som vurderes er forestilt seg å eksistere på uendelig strekkbare gummiark. I typisk geometri er grunnleggende former som sirkel, firkant og rektangel grunnlaget for alle beregninger, men i topologi er grunnlaget en av kontinuiteten og plasseringen av punkter i forhold til hverandre.

Et topologisk kart kan ha punkter som sammen vil utgjøre en geometrisk form som en trekant. Denne samlingen av poeng blir sett på som et rom som forblir uendret; Uansett hvordan det er vridd eller strukket, da punktene på et gummiark, ville det forbli uendret uansett i hvilken form det var. Denne typen konseptuelle rammer for matematikk brukes ofte i områder der store eller småskala deformation forekommer ofte, for eksempel tyngdekraftsbrønner i rom, partikkelfysikkanalyse på et subatomisk nivå, og i studiet av biologiske strukturer som den skiftende formen til proteiner.

Geometrien til topologi omhandler ikke størrelsen på rom, så en kubes overflateareal har samme topologi som for en sfære, da en person kan forestille seg at de blir vridd for å skifte fra den ene form til den andre. Slike former som deler identiske funksjoner blir referert til som homeomorfe. Et eksempel på to topologiske former som ikke er homeomorfe, eller ikke kan endres for å ligne hverandre, er en sfære og en torus eller smultringform.

Å oppdage de romlige romlige egenskapene til definerte rom er et primært mål innen topologi. Et topologisk kart for basenivå blir referert til som et sett med euklidiske rom. Rom er kategorisert etter antall dimensjoner, der en linje er et rom i en dimensjon, og et fly aplass i to. Rommen som mennesker oppleves av mennesker blir referert til som tredimensjonalt euklidisk rom. Mer kompliserte sett med mellomrom kalles manifolder, som vises annerledes på lokalt nivå enn de gjør i stor skala.

Manifoldsett og knuteori prøver å forklare overflater i mange dimensjoner utover det som er oppfattes på et bokstavelig menneskelig nivå, og rommene er knyttet til algebraiske invarianter for å klassifisere dem. Denne prosessen med homotopi -teori, eller forholdet mellom identiske topologiske rom, ble initiert av Henri Poincar & Eacute, en fransk matematiker som bodde fra 1854 til 1912. Matematikere har bevist Poincar & Eacutes arbeid i alle dimensjoner, men tre, der komplette klassifiseringsskjemaer for topologier forblir unnvikende.