Hva er topologi?

Topologi er en gren av matematikk som tar for seg studier av overflater eller abstrakte rom, der målbare mengder ikke er viktig. På grunn av denne unike tilnærmingen til matematikk, blir topologi noen ganger referert til som gummiarkets geometri, fordi formene som vurderes er innbilt å eksistere på uendelig tøybare gummiark. I typisk geometri er grunnleggende former som sirkelen, kvadratet og rektangelet grunnlaget for alle beregninger, men i topologi er grunnlaget kontinuitet og punkteres stilling i forhold til hverandre.

Et topologisk kart kan ha punkter som sammen vil utgjøre en geometrisk form som en trekant. Denne samlingen av poeng blir sett på som et rom som forblir uendret; uansett hvordan den er vridd eller strukket, som punktene på et gummiark, vil det forbli uendret uansett i hvilken form det var. Denne typen konseptuelle rammer for matematikk brukes ofte i områder der stor- eller småskala deformasjon ofte forekommer, for eksempel gravitasjonsbrønner i rommet, partikkelfysikkanalyse på et subatomært nivå, og i studiet av biologiske strukturer som f.eks. endre form på proteiner.

Geometrien til topologi omhandler ikke størrelsen på mellomrom, så en kubes overflate har den samme topologien som en sfære, ettersom en person kan forestille seg at de blir vridd for å skifte fra en form til en annen. Slike former som har identiske trekk, blir referert til som homeomorfe. Et eksempel på to topologiske former som ikke er homeomorfe, eller som ikke kan endres for å ligne hverandre, er en sfære og en torus eller doughnutform.

Å oppdage de romlige egenskapene til definerte rom er et hovedmål i topologien. Et topologisk sett topologisk kart blir referert til som et sett av euklidiske rom. Rom er kategorisert etter antall dimensjoner, der en linje er et rom i en dimensjon, og et plan et mellomrom i to. Det rommet som oppleves av mennesker blir referert til som tredimensjonalt euklidisk rom. Mer kompliserte sett med mellomrom kalles manifolds, som virker annerledes på lokalt nivå enn de gjør i stor skala.

Manifold-sett og knuteteori forsøker å forklare overflater i mange dimensjoner utover det som kan oppfattes på et bokstavelig menneskelig nivå, og mellomrommene er knyttet til algebraiske invarianter for å klassifisere dem. Denne prosessen med homotopyteori, eller forholdet mellom identiske topologiske rom, ble initiert av Henri Poincaré, en fransk matematiker som levde fra 1854 til 1912. Matematikere har bevist Poincarés arbeid i alle dimensjoner, men tre, der komplette klassifiseringsskjemaer for topologier forblir unnvikende.