Qu'est-ce que la topologie?
La topologie est une branche des mathématiques qui traite de l’étude de surfaces ou d’espaces abstraits, où les quantités mesurables n’ont pas d’importance. En raison de cette approche unique des mathématiques, la topologie est parfois appelée géométrie de feuille de caoutchouc, car les formes considérées sont supposées exister sur des feuilles de caoutchouc extensibles à l'infini. En géométrie typique, les formes fondamentales telles que le cercle, le carré et le rectangle constituent la base de tous les calculs, mais, en topologie, la base est celle de la continuité et de la position des points les uns par rapport aux autres.
Une carte topologique peut comporter des points formant ensemble une forme géométrique telle qu'un triangle. Cette collection de points est considérée comme un espace qui reste inchangé; cependant, peu importe la façon dont il est tordu ou étiré, comme les points d’une feuille de caoutchouc, il resterait inchangé quelle que soit sa forme. Ce type de cadre conceptuel pour les mathématiques est souvent utilisé dans des domaines où se produisent souvent des déformations à grande ou petite échelle, telles que les puits de gravité dans l’espace, l’analyse de la physique des particules au niveau subatomique et l’étude de structures biologiques telles que la changement de forme des protéines.
La géométrie de la topologie ne traite pas de la taille des espaces, de sorte que la surface d'un cube a la même topologie que celle d'une sphère, car une personne peut imaginer qu'elle est tordue pour passer d'une forme à l'autre. De telles formes qui partagent des caractéristiques identiques sont appelées homéomorphes. Un exemple de deux formes topologiques qui ne sont pas homéomorphes, ou qui ne peuvent pas être modifiées pour se ressembler, sont une sphère et un tore, ou une forme de beignet.
La découverte des propriétés spatiales fondamentales d'espaces définis est un objectif principal de la topologie. Une carte topologique d'ensemble de niveau de base est appelée un ensemble d'espaces euclidiens. Les espaces sont classés selon leur nombre de dimensions, une ligne étant un espace dans une dimension et un plan un espace sur deux. L'espace vécu par les êtres humains est appelé espace euclidien à trois dimensions. Les ensembles d'espaces plus complexes sont appelés des variétés, qui apparaissent différentes au niveau local par rapport à une grande échelle.
Les ensembles de variétés et la théorie des nœuds tentent d'expliquer les surfaces dans de nombreuses dimensions au-delà de ce qui est perceptible au niveau humain littéral, et les espaces sont liés à des invariants algébriques pour les classer. Ce processus de théorie de l'homotopie, ou la relation entre des espaces topologiques identiques, a été initié par Henri Poincaré, un mathématicien français qui a vécu de 1854 à 1912. Les mathématiciens ont prouvé le travail de Poincaré dans toutes ses dimensions, à l'exception de trois, où les schémas complets de classification des topologies restent insaisissables.