O que é topologia?

A topologia é um ramo da matemática que lida com o estudo de superfícies ou espaços abstratos, onde quantidades mensuráveis ​​não são importantes. Devido a essa abordagem exclusiva da matemática, a topologia às vezes é chamada de geometria da folha de borracha, porque se imagina que as formas em consideração existem em folhas de borracha infinitamente extensíveis. Na geometria típica, formas fundamentais como círculo, quadrado e retângulo são a base para todos os cálculos, mas, na topologia, a base é uma de continuidade e a posição dos pontos um em relação ao outro.

Um mapa topológico pode ter pontos que juntos formariam uma forma geométrica como um triângulo. Essa coleção de pontos é vista como um espaço que permanece inalterado; no entanto, não importa como seja torcido ou esticado, como as pontas de uma folha de borracha, ele permanecerá inalterado, não importa de que forma seja. Esse tipo de estrutura conceitual para a matemática é freqüentemente usado em áreas onde ocorrem deformações em grande ou pequena escala, como poços de gravidade no espaço, análise da física de partículas em nível subatômico e no estudo de estruturas biológicas, como a mudança da forma das proteínas.

A geometria da topologia não lida com o tamanho dos espaços; portanto, a área de superfície de um cubo tem a mesma topologia que a de uma esfera, como uma pessoa pode imaginá-los sendo torcidos para mudar de uma forma para outra. Tais formas que compartilham características idênticas são chamadas de homeomórficas. Um exemplo de duas formas topológicas que não são homeomórficas, ou que não podem ser alteradas para se parecerem, é uma esfera e um toro ou forma de rosca.

Descobrir as propriedades espaciais principais dos espaços definidos é um objetivo principal na topologia. Um mapa topológico definido no nível base é referido como um conjunto de espaços euclidianos. Os espaços são classificados pelo número de dimensões, onde uma linha é um espaço em uma dimensão e um plano, um espaço em duas. O espaço experimentado pelos seres humanos é chamado de espaço euclidiano tridimensional. Conjuntos de espaços mais complicados são chamados de variedades, que parecem diferentes em nível local do que em larga escala.

Conjuntos múltiplos e teoria dos nós tentam explicar superfícies em muitas dimensões além do que é perceptível no nível humano literal, e os espaços estão ligados a invariantes algébricos para classificá-las. Esse processo da teoria da homotopia, ou a relação entre espaços topológicos idênticos, foi iniciado por Henri Poincaré, um matemático francês que viveu de 1854 a 1912. Os matemáticos comprovaram o trabalho de Poincaré em todas as dimensões, exceto em três, onde esquemas completos de classificação para topologias permanecem ilusórios.