Was ist Topologie?
Die Topologie ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Oberflächen oder abstrakten Räumen befasst, bei denen messbare Größen keine Rolle spielen. Aufgrund dieses einzigartigen Ansatzes in der Mathematik wird die Topologie manchmal als Gummiplattengeometrie bezeichnet, da angenommen wird, dass die betrachteten Formen auf unendlich dehnbaren Gummiplatten existieren. In der typischen Geometrie bilden Grundformen wie der Kreis, das Quadrat und das Rechteck die Grundlage für alle Berechnungen. In der Topologie sind jedoch die Kontinuität und die Position der Punkte relativ zueinander die Grundlage.
Eine topologische Karte kann Punkte enthalten, die zusammen eine geometrische Form ergeben, z. B. ein Dreieck. Diese Punktesammlung wird als ein Raum betrachtet, der unverändert bleibt; Egal wie es gedreht oder gedehnt wird, wie die Punkte auf einer Gummiplatte, es würde jedoch unverändert bleiben, egal in welcher Form es war. Diese Art von konzeptionellen Rahmenbedingungen für die Mathematik wird häufig in Bereichen verwendet, in denen Deformationen im großen oder kleinen Maßstab häufig auftreten, z Veränderung der Form von Proteinen.
Die Geometrie der Topologie hat nichts mit der Größe der Räume zu tun, daher hat die Oberfläche eines Würfels die gleiche Topologie wie die einer Kugel, da sich eine Person vorstellen kann, dass sie verdreht sind, um von einer Form zur anderen zu wechseln. Solche Formen, die identische Merkmale aufweisen, werden als homöomorph bezeichnet. Ein Beispiel für zwei topologische Formen, die nicht homöomorph sind oder nicht so verändert werden können, dass sie einander ähneln, sind eine Kugel- und eine Torus- oder Donutform.
Die Ermittlung der räumlichen Kerneigenschaften definierter Räume ist ein vorrangiges Ziel der Topologie. Eine topologische Karte mit Basisebenensätzen wird als Satz von euklidischen Räumen bezeichnet. Räume werden nach ihrer Anzahl von Dimensionen kategorisiert, wobei eine Linie ein Raum in einer Dimension und eine Ebene ein Raum in zwei Dimensionen ist. Der Raum, den der Mensch erlebt, wird als dreidimensionaler euklidischer Raum bezeichnet. Kompliziertere Mengen von Räumen werden als Mannigfaltigkeiten bezeichnet, die auf lokaler Ebene anders aussehen als im großen Maßstab.
Die Mengen- und Knotentheorie versucht, Oberflächen in vielen Dimensionen zu erklären, die über das hinausgehen, was auf buchstäblicher menschlicher Ebene wahrnehmbar ist, und die Räume werden mit algebraischen Invarianten verknüpft, um sie zu klassifizieren. Dieser Prozess der Homotopietheorie oder die Beziehung zwischen identischen topologischen Räumen wurde von Henri Poincaré initiiert, einem französischen Mathematiker, der von 1854 bis 1912 lebte. Mathematiker haben Poincarés Arbeiten in allen Dimensionen bis auf drei bewiesen, bei denen vollständige Klassifizierungsschemata für Topologien noch schwer zu ermitteln sind.